2014 Fiscal Year Research-status Report
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24540091
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
山口 睦 大阪府立大学, 高等教育推進機構, 教授 (80182426)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
入江 幸右衛門 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40151691)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | スティーンロッド代数 / 表現論 / 圏論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度行った研究とその成果は，以下に述べるように，位相群スキームの表現を行う場として，擬位相圏からなるファイバー圏の構成と，その性質の研究が主なものである．
１．［位相スキームの圏とその上の加群の圏からなるファイバー圏 p_T:MOD→T の構成］
位相環の圏を C で表し，C から位相空間の圏 Top への関手で，表現可能関手の余極限であるもの全体からなる圏を T で表す．また，位相環 R と R 上の位相加群 M の対 (R,M) を対象とする圏を Mod で表し，(R,M) を R に対応させる関手を p_C:Mod→C で表す．さらに T の対象 F に対して，C の対象 R と F(R) の要素 x の対 (R,x) を対象とする圏を C_F で表し，C_F から Mod への関手 M で，p(M(R,x))=R をみたすものをF-加群という．このとき，F-加群の圏 Mod(F) が定義され，T の各対象 F に対して Mod(F) を F 上のファイバーとするファイバー圏 p_T:MOD→T を定義した．このファイバー圏が位相群スキームの表現を行う場である．
２．［ファイバー圏 p_T:MOD→T の性質の研究］
関手 p_C:Mod→C が定める双対圏の間の関手 (p_C)*:Mod*→C* (C*は圏Cの双対圏を表す)がファイバー圏になることを示した上で，圏の埋め込み H:Mod*→MOD で米田埋め込み h:C*→T と両立するものを構成することによって，(p_C)*:Mod*→C* の p_T:MOD→T へのファイバー圏としての埋め込みで，cartesian射を保つものを構成した．また T の対象の間の射 f:F→G が定める関手 f*:Mod(G)→Mod(F) の左随伴関手を，Kan拡張を用いることにより構成し，このことから圏 MOD が余極限に関して閉じていることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
擬位相圏の概念は本研究で新たに導入した概念であるため，先行する研究結果が無い状態で基礎から理論を構築する必要がある．そのため，位相群スキームの表現論の構築に必要な擬位相圏の理論の整備に，予想した以上に時間と労力を要している．
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| Strategy for Future Research Activity |
G, H が位相群スキーム，で f:H→G が位相群スキームの準同型射であるとする．研究実績の概要で述べた圏 T の終対象1上の加群 M を自明な射 o:G→1 で引き戻すことによって得られるG-加群 o*(M) の自己同型として，G の M 上の表現が定義でき，f から定まる関手 f*:Mod(G)→Mod(H) は G の M 上の表現のなす圏 Rep(G;M) から H の M 上の表現のなす圏 Rep(H;M) への関手 f*:Rep(G;M)→Rep(H;M) を定めることが示される．このことをふまえて，今後の研究では以下のことに注力する．
１．f*:Mod(G)→Mod(H) の右随伴関手から f*:Rep(G;M)→Rep(H;M) の右随伴関手が得られることを検証する．
２．特に G が位相環で表現可能なアファイン群スキーム，H が G の部分群スキームで f:H→G が包含射，M が準連接加群の場合に f*:Rep(G;M)→Rep(H;M) の右随伴関手は G の誘導表現を与えるが，H の表現から G の誘導表現を得るプロセスを，G と H を表現する位相ホップ代数と M の情報を用いて記述することを試みる．
３．さらに G を表現する位相ホップ代数 A に，G の「非安定表現」を定義するフィルトレイションが定義されているとき，H を表現する位相ホップ代数にも G のフィルトレイションに対応するフィルトレイションが定まり，H の非安定表現が定義できる．このとき H の非安定表現から誘導される G の表現を調べ，H の非安定表現から誘導される G の非安定表現について考察する．
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| Causes of Carryover |
授業担当や会議等のスケジュールの都合上，研究連絡のために出張できる機会が限られたため，旅費の消化が困難であった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究連絡のためのスケジュール調整を信州大学や九州大学などの研究者達と緊密に行い，旅費の消化を行う．また，購入から4年経過したノートパソコン更新を昨年度予定していたが，新製品の性能向上が少なかった事など，諸般の事情により先送りになったため，今年度はノートパソコン更新を行う．
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| Remarks |
「双対Steenrod代数で表現される群スキームの表現論」は理論と証明の詳細を記した研究ノート．ダウンロード可能で随時更新中．
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