2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540181
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
濱名 裕治 熊本大学, 自然科学研究科, 教授 (00243923)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | Wiener sausage / ブラウン運動 / ベッセル関数 |
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| Research Abstract |
ずれをもたないブラウン運動に対する Wiener sausage の体積の期待値に関しては，前年度までに補助を受けていた科学研究補助金（研究課題名「不規則媒質中のランダムウォークの漸近挙動の研究」）において，その表示に成功し，今年度に論文を執筆し投稿するに至った．今回は，そこで得られた表示から Wiener sausage の体積の期待値の漸近展開が可能であることがわかり，実際に，偶数次元の場合における漸近展開を与えることに成功した．現在，論文執筆の準備をすすめている．
今年度はずれをもつブラウン運動に対する Wiener sausage の体積の期待値を表示する計画であった．まず，ずれをもたない場合で用いられた手法が適用化のであるかどうかを検討し，研究の進展を図った．しかし，研究を進めていくなかで，確率過程が回転対称でなければ同様の手法を用いることが困難であることがわかり，それは，この分野の第一人者であるパリ第６大学の Yor 教授に問い合わせた際にも確認することができた．そこで，回転対称でない確率過程の到達時刻や Wiener sausage の体積の期待値が表示できるよう，手法の修正を行うことにしたが，完成するには至らなかった．さらに，ポテンシャル論を用いた解析的手法を検討したが，直ちに有効となるものを発見することができなかった．
最後に，第２種ベッセル関数の零点の近似値と分布状況をグラフ化することができた．これは当初の目的にはなかったので想定はしていなかった．本研究の副産物であるが，汎用の計算ソフトで結果が得られるため広範囲に広まることが期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
ずれをもたないブラウン運動に対する Wiener sausage の体積の期待値を表示は，本質的に到達時刻のラプラス変換から得られる．ずれをもつブラウン運動の到達時刻のラプラス変換は，少し議論すべき部分は残っていたが，その部分が解決すれば特殊関数で表示することができ，同様または若干修正した手法で期待値が求まるのではないかと考えていた．しかし，回転対称性が本質的であることがわかり，大きく修正しないと適用できないことがわかった．さらに，ポテンシャル論ばどの解析的な手法も少しの修正で適用できるものではないことがわかったので，議論が行き詰ることとなった．
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| Strategy for Future Research Activity |
ずれをもつブラウン運動に対する Wiener sausage の体積の期待値の表示を平成２５年度においても引き続き行う．平成２４年度では試みることができなかった Cameron-Martin の公式等確率解析を用いた手法で研究を進める．また，平成２４年度では成果が得られなかったポテンシャル論を用いた手法を用いて期待値を表示することも同時進行で試みる．
その過程で，ピン留めブラウン運動に対する Wiener sausage の体積に関する研究も必要になるものと思われるが，東京工業大学の内山教授がそれに関連する興味深い結果を出しており，平成２４年度と同様，青山学院大学の松本教授と議論を重なるとともに，内山教授とも連携しながら解決を探る．
さらに，そこで得られた表示をもとに，ずれを変数として見たときの関数としての連続性を示し，Wiener sausage の体積に対するエントロピー関数の候補となるものを与える．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
研究打ち合わせのための旅費として計上していたものが，家族の病気のために出張を取りやめたり，訪問先との日程調整がうまくいかず執行することができなくなり，２３１１７円を次年度に繰り越すこととなった．次年度に繰り越された研究費については，九州大学の谷口教授あよび白井教授との研究・討議のための旅費として使用する予定である．
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