2014 Fiscal Year Research-status Report
フォンノイマン環，自由確率論，非可換関数空間の研究
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24540214
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
植田 好道 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (00314724)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | フォンノイマン環 / 自由積 / 自由確率論 / 非可換ハーディー空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) フォンノイマン環の自由積の構造解析を行った．これまで自由積として生じるフォンノイマン環の構造を完全に一般に明らかにして来た．(1-1) しかし，III_1型因子環が生じる場合に，その連続分解に現れるII_\infty 型因子環の完全性については不明なままであった．完全性はその定義から自己同型群に大きく関係する．この問題を自己同型解析に長けた戸松玲治氏と共同で取り組み完全解答を得た．(1-2) 自由積により生じる III_1 型因子環に対しては Connes による bicentralizer 問題が肯定的であることを証明した．これは次に述べる仕事に昇華した．(1-3) Houdayer 氏が少し前に発表した自由積内の可換性の強い部分環の位置を決定した仕事に着目した．この彼の仕事は不要と思われる条件を必要としており，すなわち最良のものではなかった．期待しうる最強の結果にすべく (1-2) で観察した現象を足場に Houdayer 氏共同で取り組み，実際にその方向で最強の定理を証明した．
(2) 自由確率論に関しては私がそのハイライトと信じる自由エントロピーの研究を遂行した．具体的には数年前に我々が導入した軌道自由エントロピーの研究を行いある命題を証明した．この命題から１つの予想が否定的であることが従うと共に他一つの予想が否定的であることを強く示唆する証拠を得た．これらの予想は通常の情報理論に於けるエントロピー／相互情報量の理論から自然に類推されるものなので自由確率論ならでは，すなわち非可換性に強く由来する現象に関係していると言える．さらに深めるために成果公表をしばらくしないことに決めた．
(3) 非可換有界ハーディ空間の全共役が cotype 2 であることを示す目標に向け１ヶ月ほど徹底的に集中し幾つかの技術的命題を証明した．しかし，目標到達にはまだまだ距離がある．非常に難しい問題であること及び困難の原因が分かりつつある．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題が扱う話題で十分に意味ある成果が順調に出ているため．
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| Strategy for Future Research Activity |
Houdayer 氏との共同研究は副産物を生み，現在も継続中でありさらなる成果が十分に期待できる状況であり問題がない．他方で，非可換ハーディー空間および自由エントロピーの研究は数年かけてじっくりと取り組まねばならないことがはっきりとしてきた．当面，問題に優先順位を付けて一歩一歩進んでいく．
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| Causes of Carryover |
初年度に学内の仕事が原因で大幅に出張を取りやめたのが原因で大きな繰り越しが発生した．その後はほぼ計画通りに使用できていて繰り越し幅が順調に小さくなっている．これは２年度目以降に資金に余裕ができたからと言って気を緩めること無く倹約に勤めた成果でもある．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
現在，幾つかの共同研究を行なっており，その遂行のために旅費が必要であること，すでに１件海外出張が予定されており，さらに１件以上予定されることからむしろ現在の繰り越し額は研究遂行上都合が良い．ゆえに，特別な計画を立てる必要はない．
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