2015 Fiscal Year Research-status Report
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24540218
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
竹内 慎吾 芝浦工業大学, システム理工学部, 准教授 (00333021)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 一般化三角関数 / p-Laplacian / 完全楕円積分 / 算術幾何平均 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は一般化三角関数の性質と応用についていくつかの成果を得ることができた。ここで一般化三角関数とは退化拡散作用素の典型であるp-Laplacianの固有関数であり、三角関数の一般化としてよく知られている。またその周期を表す量として一般化円周率がある。それらの性質を調べたり応用を考えることによって、p-Laplacianに関する問題にこれまで知られていなかった知見を与えることを目標として研究を進めてきた。以下に具体的な成果を述べる。
まず、完全楕円積分のLegendre形式における正弦関数を1パラメータの一般化正弦関数に置き換えるなどして一般化した量を導入した。この量を用いることで、特別な場合の一般化円周率に対するGauss-Legendre型の計算公式を与えた。超幾何関数や数論との関連も深い内容である。次に2パラメータの一般化正弦関数を用いて一般化した完全楕円積分を考案した。応用として、Bhatia-Li(2012)によって算術幾何平均や対数平均を一般化したある種の平均をこの楕円積分で表し、その性質を用いることで彼らの結果の一部を極めて簡単に証明した。さらに2パラメータの一般化三角関数に関する倍角公式を発見した。この公式はp-Laplacianの固有関数の積がLaplacianの固有関数になるという事実を示しており興味深い。応用として、p-Laplacianを主要部にもつ単振り子方程式の厳密解を、昨年度考案した一般化ヤコビ楕円関数を用いて表すことができた。また副産物としてレムニスケート定数に対するGregory-Leibniz型の級数展開も得られた。これらの内容は国際会議で発表した際もLindqvist教授やManasevich教授などこの分野の開拓者に好評であった。
本年度は実りある研究ができたが、そのほとんどは論文として投稿中であり出版されていないことを断っておく。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題名にある「自由境界問題」について直接の成果が出たわけではないが、それを研究する際に重要な固有関数（一般化三角関数）について、数論、超幾何函数や可積分系などの他分野とのつながりを期待させる多くの成果が得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
一般化三角関数とそれを用いた楕円積分の一般化についての研究を続ける予定である。倍角公式（加法定理は未解決）やLegendre関係式などの基本的な性質が得られているので、今後は主にその応用を考えていきたい。
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| Causes of Carryover |
年度末に急な出張が入ったことで若干頭が出たと考えられる。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
このことによって翌年度の使用計画が大きく変わることはないと考えている。
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[Presentation] 未定2016
Author(s)
竹内慎吾
Organizer
常微分方程式の定性的理論ワークショップ
Place of Presentation
島根大学
Year and Date
2016-09-22 – 2016-09-22
Invited
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