2012 Fiscal Year Research-status Report
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24654016
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
井関 裕靖 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (90244409)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 離散集合 / 離散群 |
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| Research Abstract |
本研究の目的は、離散的な集合に高次元的な構造を与えることにより、離散集合によりよい「形」を定め、離散集合を幾何学的に興味深い研究対象とすることを試み、とくにこれを有限群の研究に応用することであった。今年度は、本研究の出発点として、１次元的構造により形が決まってしまうような離散集合の高次元的構造を捉えることを試みた。
離散集合に１次元的な構造を与えることは、本質的にウェイトつきのグラフを考察することと同値である。群の有限表示から得られる有限グラフに対して、とくにそのラプラシアンの固有値に関する考察を行った。ランダムに群の有限表示が与えられたとき、決められた長さの語の集合に、与えられた関係式に現れる語から１次元的な構造を与えると、関係式が十分に多く与えられているときは、非常に高い確率で、ラプラシアンの固有値が1の近くに集中することを示すことができた。この場合、表示から得られる群も、非常に高い確率で、コホモロジー次元が 2 の群になってしまうため、ただちには高次元的な構造を読み取ることはできない。しかしながら、この結果から、非常に多くの有限表示群が、Hilbert空間、あるいは Lp 空間へ非自明な作用をもたないことを意味する、ランダム群の固定点定理を導くことができた。この結果から、ランダムに与えた有限表示から得られる群は、非常に高い確率で、Hilbert空間やLp空間へのよい埋め込みをもたないことが推測される。これは１次元的な構造から形が決まってしまうような離散集合でも、十分複雑な「形」をもちうることを示唆している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の目標は、１次元的な構造から「形」が決まってしまうような離散集合の高次元的な構造を捉えることが目標であった。その「形」が意外にも複雑であることが明らかになってきてる。
その一方で、現在までのところ、高次元的な構造の幾つかの候補を見出すことはできたものの、それを完全に明確に捉えることはできていない。この結果を受けて、若干の方針の変更が必要になる可能性があるため、「おおむね順調」にとどめた。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き１次元的な構造から「形」が決まってしまうような離散集合と、その距離空間への埋め込みについて研究を行う。現在のところ、考察の主な対象はHilbert空間やLp空間への埋め込みであったが、これをより一般の非正曲率距離空間へと広げていく。
また、「形」の複雑さと、距離空間への埋め込み可能性との関係を数学的に明確に述べるために必要な種々の概念を確立する。その一例として、ラプラシアンの固有値やその非線形版とも言える不変量についての研究を進める。これらの成果を元に、高次元的な構造を捉えることを試みる。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
本研究は、幾何学はもとより、代数学、あるいは確率論などの幅広い分野に渡る横断的な研究である。そのため、研究代表者の専門である幾何学とは異なる分野に関する情報収集と深い理解を得るための図書・雑誌、および他の研究者との交流が不可欠である。図書、雑誌の購入のために物品費が、関連する様々な分野の研究者との研究討論を重ねるために国内・国外旅費が必要である。研究集会等での情報収集および資料整理等を関係者に依頼することもあるので、これに謝金等を使用する。
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Research Products
(6 results)
