2014 Fiscal Year Annual Research Report
結び目群間のメリディアンを保たない全射準同型に関する研究
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24740035
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
鈴木 正明 明治大学, 総合数理学部, 准教授 (70431616)
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2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 結び目群 / メリディアン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元球面内の結び目の補空間の基本群を結び目群と呼ぶ。結び目群は結び目の不変量である。すなわち、同じ結び目に対しては、その表示などによらず、結び目群は同型な群になる。この性質を用いて、たとえば結び目群が同型でなければ、結び目が異なることが決定できる。このため、結び目群が同型かなど、その群の構造を考察することは意義のあることであるが、一般に群の構造を調べることは難しく、たとえば与えられた群が同型であるかを決定することは非常に難しい。
そのため、特に本研究では、結び目群の間に全射準同型が存在するかという問題を考察した。これにより、二つの群の関係を調べることができ、結び目の関係を考察することができる。さらに、単に代数的に結び目群の間に全射準同型が存在するかだけでなく、結び目群のメリディアンの像に着目をした。メリディアンは結び目群の正規生成元である。すなわち、結び目群の任意の元はメリディアンもしくはその逆元の共役の積で表すことができる。
本研究において、三つ葉結び目と呼ばれる結び目と八の字結び目と呼ばれる結び目の結び目群へ、メリディアンを保たない全射準同型をもつ結び目を無限個構成することができた。しかもこれらの例においてはメリディアンを保つ全射準同型は決して構成することができないことも証明した。また、これらの結び目は互いに異なる結び目であり、すべて素な結び目であることも証明することができている。
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