2013 Fiscal Year Annual Research Report
多変数保型形式の整数論の跡公式を背景とする明示的研究
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25247001
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
伊吹山 知義 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (60011722)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
若槻 聡 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (10432121)
佐藤 文広 立教大学, 理学部, 教授 (20120884)
北山 秀隆 和歌山大学, 教育学部, 講師 (20622567)
桂田 英典 室蘭工業大学, 工学研究科, 教授 (80133792)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 保型形式 / 跡公式 / リフティング / ゼータ関数 / L 関数 / 種の理論 / 特殊値 / 整数論 |
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| Research Abstract |
本年に得られた研究成果は次のとおりである。（１）２つの楕円カスプ形式からベクトル値ジーゲル保型形式へのリフト(スカラー値に対する池田宮脇リフトの一般化）を微分作用素と林田-Maass 関係式を利用して構成し、L 関数の関係式を与えた。これは van der Geer たちが予想した３次ジーゲル保型形式へのリフトの一部を証明するものである。（２）２次ジーゲル保型形式のヘッケ作用素の跡公式について、その半単純成分が実２次体を生成する非半単純な元(我々は type VII と呼んでいる）の寄与をレベル１のジーゲル保型形式群および素数レベルのパラモジュラー群の場合に、２次体の類数を用いて完全に具体的に記述することに成功した。これには２次体の種の理論に対する新しい観点と結果も含んでいる。
２０１４年３月２３日から２８日に上海の同済大学において国際研究集会 Explicit Theory of Automorphic forms を N. P. Skoruppa, H. Zhou, H. Lu と共同主催し、日中独仏英豪からの参加者計５４名で研究発表討論をおこなった。また研究代表者は７月１日から１２月末までマックスプランク数学研究所に招聘され、多数の研究者と討論を行った。特に研究所長の Don Zagier とジーゲル保型形式上のある種の微分作用素と特殊関数論についての９０ページを超える共著論文をほぼ完成させた。これは２０年を超える共同研究の成果である。また Bernoulli Numbers and Zeta Functions というタイトルの英文単行本（荒川恒男、金子昌信と共著）を Springer Verlag から出版すべく、原稿を提出した。この準備は上記の研究成果の（２）の発展の原動力となった。以上に関連した発表論文や学会発表は別項のとおりである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は跡公式の研究とその周辺の保型形式論が有機的に結合することを期待して研究を行っている。この点で両方の研究が同時並行的に進展しているのは自然なことであり、順調な進行であると思う。跡公式はさまざまなタイプの共役類の寄与の総和からなっており、これはひとつひとつ別の手法で記述していく作業が必要になる。特に今回 type VII の非半単純元の寄与を完全に具体的に記述できたというのは非常に心強い進展であり、同じように他の共役類も計算できるのではないかとの期待を抱かせるのに十分である。これは年度当初には想定していなかった進歩であり、当初の計画以上である。一方でジーゲル保型形式に関する Harder 予想の解決は本研究テーマの一つであり、特に pullback formula を用いた半整数ウェイト版の証明が期待されるが、これはまだ予備調査段階にとどまっており、十分な考察の時間が取れていないので、当初の計画よりは進んでいないと言えるかもしれない。しかし広範な内容を含んでいる研究であるから、実行ができる端緒が得られた部分を特に優先的に時間をかけて追及していくというのは正当であると思われる。また以上以外にも、ヤコービ形式のテーラー展開などで新たに得られた断片的な結果や、新しく発見したアイデアも多く、また２００ページを超える著書の原稿および９０ページを超える論文などをほとんど完成させたことも思えば、総合的に見れば順調、ないしはそれ以上の研究の進展状況であると断言できると思う。なお昨年投稿予定であった伊吹山と北山の共著論文は、ほとんど完成しているがまだやや修正を要し投稿できていないなど、時間が足りなくて研究の進行速度に論文発表が追い付いていない面があり、この点については鋭意、努力をしていきたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
今まで通り、広範な研究を常に視野に入れながら、その解決の端緒が得られた部分を優先的に研究していく予定である。この意味では具体的にどのような部分の研究が進展するかについては、事前には予測しがたい面もある。しかし特に、跡公式の計算は極めて難しく複雑であるが、非半単純共役類の寄与の計算は、大きな進展をする可能性が高く、これを注意深く発展させたい。抽象的な一般論ではなく、共役類の型ごとに実際に具体的に計算できる公式を与えることをめざす。個別的な問題はいろいろな困難が想定されるので、できるところからゆっくりと一つ一つ解いて行きたい。このための分担者との密接な国内共同研究の推進のため、当初平成２６年度に予定していたマックスプランク研究所への長期滞在を平成２７年度に延期した。また保型形式の合同(Harder 予想の一般化）については、Neil Dummigan がその高次元化を考察しており、それについての考察は実はさまざまな高次元ジーゲル保型形式やヤコービ形式の構造定理の発見等の進展をうながすことになる。このためには、リフト、微分作用素、ヤコービ形式の種々の展開、アイゼンシュタイン級数の具体的な理論など、様々な研究を同時に行うことが是非とも必要である。保型形式環や保型形式加群、nealy holomorphic form や quasi modular form など一見関係なさそうな理論が実は大きく関係する可能性もある。したがって、今までの経験から考えても、あまり研究範囲を狭く考えないで守備範囲を広く持っていることが必要である。この意味で、一見小さな結果やルーティンワークに見えることでも丁寧に結果を出すことが望ましいと思う。なお、研究成果を論文としてきちんと公表することにも力を注ぎたい。
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[Presentation] Jacobi forms of degree two
Author(s)
Tomoyoshi Ibukiyama
Organizer
The 41st Seminar Aachen-Koeln-Lille-Siegen on Automorphic Forms
Place of Presentation
Max Planck Institute for Mathematics, Bonn, Germany
Invited
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