2015 Fiscal Year Annual Research Report
多変数保型形式の整数論の跡公式を背景とする明示的研究
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25247001
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
伊吹山 知義 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (60011722)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
若槻 聡 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (10432121)
佐藤 文広 津田塾大学, 付置研究所, 研究員 (20120884)
北山 秀隆 和歌山大学, 教育学部, 講師 (20622567)
桂田 英典 室蘭工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (80133792)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 整数論 / 保型形式 / 跡公式 / L 関数 / アーベル多様体 / 微分作用素 / 特殊関数論 / ４元数的エルミート形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究上の主たる成果は以下の通り。
(1)２次ジーゲル保型形式のヘッケ作用素の跡公式について、唯一未知だったタイプの非半単純群の寄与の公式を明示的に与えた。(2)ジーゲル上半空間上の関数に作用する、領域の制限で保型性を保つ微分作用素について、２種類の明示的公式を与え、一種の最終定理を得た。これに関連するホロノミー系の８つの独立な解について、そのテーラー展開係数の特殊化を明示的に与える公式を Zagier との共同研究で与えた。(3) 任意の代数体上の四元数環上の四元数的エルミート空間の格子からなる種に対して タイプ数を定義し、これが四元数的エルミート群のあるヘッケ作用素の跡で記述されることを示した。この応用として、素体上定義されるモデルを持つ偏極超特別アーベル多様体で偏極が特定の種に属するものの個数を跡公式で記述した。また次数２のとき、ある５元２次形式の類数と２次４元数的エルミート極大格子のタイプ数が一致するという代表者の未発表結果を整理して論文の形にまとめ、超特異アーベル多様体のモジュライの素体上のモデルに関する結果に応用した。(4) 日本語の専門書「保型形式特論」の執筆を進めた。
分担者若槻聡は、一般次数でのジーゲル保型形式のねじれの無い主合同部分群について、明示的次元公式を確定させるという目覚ましい結果を挙げた。また分担者桂田英典は、周期と合同の結果などについて、代数学賞を受賞した。その他の分担者も業績一覧に見るような成果を得た。
研究代表者は２０１５年５月から１０月までドイツのマックスプランク研究所に、また２０１６年２月中旬から１か月、台湾の Academia Sinica に招聘されて、研究討論を行い、また CIRM, MFO, Pusan 等での国際研究集会で招待講演を行った。また Friedberg, Dummigan を京大数理解析研究所の国際研究集会に招聘した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
分担者若槻聡による高次ジーゲル保型形式の次元公式の確定は目覚ましい結果であり、これにより、他の有界対称領域に関する次元公式へのはっきりした展望が開けたと思う。また、本来の主たるテーマである２次ジーゲル保型形式のヘッケ作用素の明示的理論も、非半単純元については、すべてにわたって一応の明示的公式ができたので、既に最終段階にまで進展しているといってよい。半単純元については、まだ十分には進展していないが、幾何学的動機が一層解明されてきたので、部分的な進展でもよいから結果を確定させるべき時期に来ている。ジーゲル保型形式上の微分作用素については、思いがけない単純な母級数表示が与えられ、更にはこれとは全く異なる組合せ論的な明示公式も与えられた。これはある意味で最終定理と呼んでよいと思う。これに関連する微分方程式系について、解となる直交多項式系以外の特殊関数論的側面はまだ発展途上であるが、これがたとえば将来、算術交点理論などに結びついていくかどうかがかなり重要な問題になりうる。超特異アーベル多様体関連では、その算術的な様子が、四元数的エルミート空間の算術と深くかかわる様子が一層明らかになってきている。直接的に明示的跡公式を記述する研究は、周辺部分の発展が多く、それに時間を取られてしまい、研究にかける時間が不足していたきらいがある。中には十分時間さえあれば解決できると思われるテーマも多いのに、進歩できていない部分もあるので、この点の発展に努力することが必要である。研究テーマ全体については、前年度までの結果と合わせて、総合的重層的に進展してきており、進捗状況は十分であると思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
今までに、かなりの量の結果（少なくとも７つくらいの異なる主題に関する、証明された研究結果）が得られており、論文として発表する速度がこれに追いついていない。これらを近日中に論文の形で投稿することが最重要であると考えている。これにあたっては当然細部の深化と結果の定式化の最終確定がなされるので、単に既存の結果の執筆という以上の意味がある。これには交通整理の意味もあり、その結果で見えてくることもあると思うので、鋭意努力したい。若槻聡と代表者のヘッケ作用素の跡公式にかかわる共同研究については、今まで二人のスケジュールの調整が難しかったが、本年秋以降、十分時間を取って進める計画に同意している。半単純元の寄与の計算については、単に跡公式というだけではなく、超特異アーベル多様体の算術への応用等と組合せることにより、部分的な結果ごとにその意味をあきらかにする形でまとめることを考えている。これにより、最終的なすべての項に渉る跡公式が得られる前でも、発表可能であれば発表するという方策を取りたい。保型形式上の微分作用素の理論は、ひとつの佳境に入っていると思う。今までジーゲル上半空間しか取り上げなかったが、少なくとも一般の対称管状領域で、類似の理論がどうなるか、踏み込んで研究すべき時期になっていると思う。同じような明示的な母関数が存在するのかどうかは予断を許さないが、現在までの結果が美しい本質的な理由はよくわかっておらず神秘的であり、この解明に興味がある。その他、多変数保型形式のリフト、 L 関数の特殊値、周期、合同、概均質ベクトル空間のゼータとのかかわり、等も従来と同様研究する。またジーゲルの不定符号２次形式のテータ関数やゼータ関数の理論の中で、モックテータがどのような位置を占めるのかという新たな問題を立てて、この分野で新しい視点を得たいと考えている。
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