2016 Fiscal Year Annual Research Report
Explicit study of number theory of automorphic forms of several variables related to trace formulas.
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25247001
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
伊吹山 知義 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (60011722)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
若槻 聡 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (10432121)
佐藤 文広 津田塾大学, 付置研究所, 研究員 (20120884)
北山 秀隆 和歌山大学, 教育学部, 准教授 (20622567)
桂田 英典 室蘭工業大学, 工学研究科, 教授 (80133792)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ジーゲル保型形式 / 保型的微分作用素 / 超特異アーベル多様体 / 跡公式 / 保型形式の合同 / テータ関数 / ホロノミー系 / ４元数的エルミート形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）ジーゲル保型形式の対角成分への制限、およびヒルベルト保型形式の対角埋め込みへの制限に関して、保型性を保つ微分作用素が別々に考えられる。ジーゲル保型形式のスカラー対角行列への制限に関して保型性を保つ微分作用素は、実は上記の作用素の合成ですべて得られることを証明し論文として出版した。２つの同じサイズの対角ブロックへの制限に関する保型的微分作用素の、全く新しい一行で記述できる公式を与えた。また、この分野については D. Zagier との長年の共同研究を本の形で出版すべく執筆中である。
（２）竹森翔との共同研究において、一般のベクトル値のウェイトにたいしジーゲル保型形式をテータ関数で構成する具体的な方法を与え、これを van der Geer たちのリフトの予想に応用し、また保型形式間の新しい合同式を得た。
（３）２次４元数的エルミート形式の、一般の極大格子のタイプ数が、ある５元２次形式の類数と等しいことを証明し、また、その超特異アーベル多様体の偏極の定義体への応用についての論文を書き、投稿した。
（４）伊原リフトに関するリフトの像の大きさについての非常に具体的な予想を、実験結果や次元公式による傍証とともに論文の形にまとめた。
（５）研究代表者は他の研究者と共に次の２つの国際研究集会を主催した。(i)「モック保型形式とその関連」（１１月、九州大学にて）、(ii)「局所ゼータとモジュライ空間の算術」（３月、ジョンズ・ホプキンス大学にて）。また、トリエステの理論物理学国際センターに２週間、台湾の中央研究院に１月ほど招聘され、Don Zagier および Chia-Fu Yu と共同研究ないしは研究交流を行った。上記以外にイスタンブール、プネ（インド）、上海を訪問し成果発表を行った。また P. Guerzhoy, S. Boecherer, Y. Cai を日本に招聘し研究討論を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
保型的微分作用素を具体的に記述する研究は、ほぼ最終段階と言えるぐらい、大きく進展している。これは理論的な研究と言うよりは、明示的な公式を記述する研究であり、結果を見るまでは、およそ予測のつかない研究であったが、非常な成功を収めたと言ってよいと思う。もちろん若干補足したい部分がないわけではないが、山は越えている。また、最近の組合せ論的表現論の進歩に助けられて、ジーゲル保型形式のウェイトが完全に一般のベクトル値のものまで扱うのが容易になってきている。テータ関数に関する竹森との共同研究や、保型的微分作用素の one-line formula はこれらの影響の元でできた結果である。一方で保型的微分作用素を決める多項式を解に持つ微分方程式系の解となる特殊関数の記述については、８次元のうちの１次元を除き、Taylor 展開式が非常によくわかっているのだが、最後の一つが明示的には書けておらず、神秘的で面白い課題として残っている。超特異アーベル多様体と４元数的エルミート形式の算術については、かなり具体的な進展があった。跡公式について、昨年度の分担者若槻の研究により、一般次元公式が大きく進んでいる一方で、ヘッケ作用素の跡については、実はタイプ原稿で１５０ページ程度の大きな計算の蓄積がある。ただし、これを具体的な応用に結びつけて発表できる段階には至っていないので、これが今後の課題である。一方で、整数ウェイトと半整数ウェイトのジーゲル保型形式に関する Harder 予想の証明は、他の研究に時間をとられてしまったので、初期的な段階からあまり進んでいない。また、研究成果を遅滞なく、論文をして発表することを目指して、今年度は４つほど論文を書いたが、まだまだ多数の書き残しがあるのが反省点である。
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| Strategy for Future Research Activity |
任意の対角ブロックへの制限に付随する保型的微分作用素については、かなり奇跡的な計算の連続で極めて明示的な公式の記述に成功したが、「なぜそうなるのか」という理論がよくわからない。これを理解するためには、ジーゲル保型形式だけを考えるよりも領域をもっと一般にして理論をつくるのが理解の早道であると思う。その方向に徐々に研究を変化させたい。一方で、小林俊行、Pevzner,久保利久等が全く別の表現論からの発想で類似の数学を研究しており、彼らとの交流を研究集会の形で計画している。また、最近、ジョン・ホプキンス大学での研究集会での交流のおりに、一つの偏極アーベル多様体の、isogeny class の中での同型類の個数を、算術的に具体的に数える研究がアメリカで盛んであることを発見した。これは実は、研究代表者が、長年深く研究して来た４元数的エルミート形式の算術理論や、シンプレクティック群の具体的な跡公式の応用と極めて近い。たとえば超特殊でない超特異アーベル局面の主偏極の個数については、研究代表者が１９８２年頃考えたことがあり、これを発展させることにより、彼らの疑問の一部に答えることができるようである。ここに跡公式の計算の具体的な技術によって貢献できる大きな可能性が感じられるので、彼らと積極的に交流して、この方向の研究に一定の力を注ぐとともに、将来的にはサンノゼのアメリカ数学研究所で研究集会を開催すべく計画したい。Poor や Yuen のパラモジュラー予想とも絡めて、跡公式の具体的な応用という形で企画できれば、数学的に大きな発展が見込めると思う。Harder 予想の証明については、技術的に何が必要かは非常にはっきりわかっているので、実際には時間的な問題が一番大きい。分担者の協力を得て、それなりの時間配分をとってもう少し進歩させたいと考えるている。
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