2014 Fiscal Year Annual Research Report
Donaldson-Tian-Yau予想の存在問題の研究
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25287010
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
満渕 俊樹 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80116102)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中川 泰宏 佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90250662)
新田 泰文 東京工業大学, 理工学研究科, 助教 (90581596)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Donaldson-Tian-Yau予想 / K-安定性 / テスト配位 / Donaldson-二木不変量 / 偏極代数多様体 / 定スカラー曲率Kaehler計量 / extremal Kaehler 計量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Donaldson-Tian-Yau 予想に関して，Tian や Chen-Donaldson-Sun による Kaehler-Einstein 計量の場合の解決にもかかわらず，一般偏極の場合や extremal Kaehler 計量の場合は依然未解決である．昨年度に引き続き，この一般偏極の場合を念頭に，Donaldson-Tian-Yau 予想の解決を目指して，関連する諸問題に取り組んだ．
(1) 各テスト配位に対して定義される Donaldson-二木不変量が，論文「The Donaldson-Futaki invariant for sequences of test configurations」において，テスト配位列全体の成すモジュライ空間上で定義される不変量に拡張されることを示したが，これは Birkh\"auser 社の Progress in Math. のシリーズの第308巻 "Geometry and Analysis on Manifolds" に出版された．
(2) 新田泰文氏（東工大）との共同研究「Strong K-stability and asymptotic Chow-stability」において，一般の偏極代数多様体に対して，強 K-安定性から漸近 Chow 安定性が従うことを示したが，これも Birkh\"auser 社の Progress in Math. のシリーズの第308巻 "Geometry and Analysis on Manifolds" に出版された．
(3) つい最近になって，論文「The Yau-Tian-Donaldson conjecture for general polarizations, I」において，強 K-安定性から定スカラー曲率 Kaehler 計量の存在を導く具体的なプランを提示したが，これは現在査読中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Donaldson-Tian-Yau 予想に関して，上記実績の (1) および (2) は，査読が無事終わり，実際に Birkh\"auser 社の Progress in Math. のシリーズの第308巻 "Geometry and Analysis on Manifolds" から出版された．さらに (3) で，強 K-安定性から定スカラー曲率 Kaehler 計量の存在を導く具体的なプランが出来つつあり，これらを総合すると，２年目としてはまずまずの結果だと思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究チームを中心として，前年度に引き続き Donaldson-Tian-Yau 予想に関する小研究集会を繰り返し開き，知見を深めるとともに問題を様々な角度から考察し，その解決を系統的かつ強力に押し進める計画である．一方で我々の研究を基礎から支える備品や消耗品として，関連の書籍のみならず，計算機ソフトや計算機関連の備品も購入する予定である．
また Pacific Rim Complex Geometry Conference および Trends in Modern Geometry の合同国際研究集会や，金沢での複素幾何国際シンポジウム等を組織・参加することによって，情報収集のみならず研究成果の発表も行い国際的なレビューを受けたい．
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| Causes of Carryover |
平成２７年度は，我々の研究課題と関係する大規模な国際シンポジウム Pacific Rim Complex Geometry Conference （これはさらに Trends in Modern Geometry とも合同の予定）を東京大学で開く予定で，研究代表者はそのオーガナイザーともなっている．そのための経費を一部捻出するために，さかのぼって平成２６年度の基金助成金使用を控えめにした．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額の部分の使用計画としては，平成２７年度に東京大学で開く国際シンポジウム Pacific Rim Complex Geometry Conference の開催費用の一部に充てる予定である．
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