2016 Fiscal Year Annual Research Report
離散関数解析と変分理論からなる差分法の基礎理論構築
| Project/Area Number |
25287030
|
|---|
| Research Institution | Osaka University |
|---|
Principal Investigator |
降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 准教授 (80242014)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松尾 宇泰 東京大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (90293670)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 構造保存数値解法 / 偏微分方程式 / 差分法 / 変分理論 / 離散変分導関数法 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
第四年度にあたり、本計画の研究推進は主に研究計画書および交付申請書記載の目的および実施計画に沿って行った．計画書に記載した通り、おもな目的の一つは空間一次元状況下で離散 L2 ノルムを代表とする離散ノルムと自然に導出される離散関数空間, 特に離散ソボレフ空間の定義を考え、それら数学的な性質を調べることであった．このとき、コーシー-シュワルツ不等式やソボレフ不等式などの重要な微積分不等式の離散化を行い、部分積分に基づく離散変分理論の基礎を構築すること、さらに離散積分汎関数や離散変分導関数などの定義を与えることが次の目的であった．
これらについて本計画研究者らは第三年度までの研究を引き続き推進し、特に離散 L2 ノルムにおいて、対称な中心差分作用素の族に対して作用素同士を変換する差分変換行列の概念を用いて離散ソボレフ不等式などの一般的な微積分不等式の性質が統一的に証明できることを示し、そしてさらにそれらを成立させる数学的条件について研究をすすめた．そして離散関数空間のカーネルの取扱いが数学的に本質的であることを見出した．これにより、より一般のカーネルを考えることでより広い枠組みの関数空間を考えることが可能となる．その成立条件が数学的に精妙であることが示唆されるため、計算機による補助的な知見を得る準備を進めている．
また、応用数学の専門家が集まる国際会議 NASPDE 2016 (Numerical Analysis of Stochastic Partial Differential Equations) や IMI-La Trobe Joint Conference "Geometric Numerical Integration and its Applications" などにて研究発表を行い、研究交流をすすめた．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記研究実績の項目で述べているように、研究成果については独自の内容で当初の研究計画以上の成果を得ている部分もあり、全般としてはほぼ当初計画に沿った進展が見られると考えられる．
そして、主たる国外招聘研究者の都合で初年度から第二年度、つまり平成26年度、へ予定を変更した国際研究集会を構造保存解法に対する研究交流のために数値解法の専門家が集まる研究集会 KCNADE (Kyoto Conference on Numerical Analysis and Differential Equations) として平成26年の夏に無事に主催、運営し、国内外から多くの専門家を招待、講演をしてもらうとともに自分らも研究発表を行い研究交流をすすめることも出来た．また、平成27年度に本計画研究者二人が応用数学の専門家が集まる国際会議 SciCADE および ICIAM にて研究発表を行い、研究交流を推進したことは予定通りである．さらに、平成28年度は応用数学の専門家が集まる国際会議 NASPDE 2016 (Numerical Analysis of Stochastic Partial Differential Equations) や IMI-La Trobe Joint Conference "Geometric Numerical Integration and its Applications" などにて研究発表を行い、予定以上の研究交流をすすめた形となっている．
これらにより本研究の研究成果、実績について当初の計画からの大きなずれは無く、本達成度としてみずから評価するものである．
|
| Strategy for Future Research Activity |
最終年度である平成29年は以下の計画を主に行う．まず，これまでの計画に沿った前年度までの調査と研究の結果をうけ、引き続きこれらの研究を推進する．連続ソボレフ空間の性質は、離散ヒルベルト空間などに比べ、離散化によって失われやすい認識が得られたことから、目的とする微積分不等式の離散的なものが成立するための数学的条件について研究を進め、また、これらの条件を満たす離散化について研究を進める．離散 L2ノルムを用いた場合においては、差分変換行列の議論を通じて理論展開が可能であることが判明したため、この議論のさらなる進展を狙って研究を行う．
また、これまで、連続な変分理論が基礎におく極限操作を離散系では導入できないことから所与の条件下で厳密な等号の成立をさせることで数学的な曖昧さを排除することを議論の基礎においてきたが、これを堅持する形で研究を進める．極限操作のもつ一種の曖昧さに対する寛容性がないために数学的には困難であるが、これは重要な挑戦である．そして、実用問題の多くの記述がある、高次元領域における研究も推進する．高次元空間においては単体分割の自由度が増すことで、離散化のためのより強い指導原理が必要となるが、これについては変分原理と曲がった局所座標の導入により解決を試みる．
そして、前年度までと同様に積極的に国際研究集会などに参加、講演を行い、これらを通じて他の専門家と知見の交換をはかる．具体的には日本応用数理学会や日本数学会などの国内での毎年の年会への参加、講演発表に加え、平成29年には数値計算等における応用数学者の集まる国際研究集会 SciCADE が開催されるため、これらに参加して講演を行うものとする．
|
| Causes of Carryover |
初年度に主催、運営を予定していた国際研究集会 KCNADE の予定が主たる招聘研究者らの都合により第二年度、すなわち平成26年度にずれ込んだため、それをうけて第二年度に購入予定であったワークステーションの購入を後年度に移行したため、おおよそワークステーション一台分程度の次年度使用額が生じることになったものである．
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
先に述べた研究実績と推進方策に沿って以下のように使用する計画である．先も述べたように、数学的な証明で保証される以上に離散的な微積分局所則が一定の範囲で成り立つとわれわれは予測しているが、これをなんらかの形で確認する必要がある．これには数式処理による計算支援と予備数値実験が大変重要であるため、ワークステーションの確保とその上で動作するソフトウェアのライセンス料等に研究費をあてる．また、変分理論については関数解析の専門家や有限要素法の専門家との共同研究が適切であり，このための研究集会開催の費用や旅費等を計上する．またこれも先に述べたように、平成29年には数値計算等における応用数学者の集まる国際研究集会 SciCADE がイギリスで開催されるためこれらに参加、講演を行い、多くの知見を得ることを目的として予算を振り分ける．
|
