2017 Fiscal Year Annual Research Report
L-functions and motivic cohomology of arithmetic varieties and applications to cyclotomic fields
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25400007
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
大坪 紀之 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (60332566)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | L関数 / モチーフ / 超幾何関数 / モチーフ的コホモロジー / 円分体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、数論的なモチーフのL関数とモチーフ的コホモロジーに関する重要な問題に関して新たな結果を得ることであった。そのために、レギュレーターやL関数の特殊値と一般超幾何関数との関係を明らかにすること、また円分体論への応用を探ることが重要であった。
まず、フェルマー曲線のL関数については、フェルマー曲線を分解して得られるモチーフの階数が3以下の場合に、レギュレーターを超幾何関数の特殊値で表示した。その特殊値とL関数の特殊値が（簡単な有理数倍を除いて）一致することを数値的に示し、Beilinson予想が成り立つ新たな例を多く与えた。また、フェルマー曲線の塔のホモロジー群の精密な計算を行い、Anderson-Iharaによる円分体に付随するヤコビ和を全て表す普遍的な測度の、新たな構成法を得た。
朝倉政典氏（北大）との共同研究では、超幾何ファイブレーションという構造を持つ多様体の族を定義し、その場合の周期とレギュレーターを計算した。周期については、Gross-Deligneの周期予想の新しい例を与えた。また、レギュレーターに関しては、それを一般超幾何関数の特殊値で表すことができ、L関数の特殊値の研究で超幾何関数が重要な役割を果たすということの傍証を得た。さらに、超幾何ファイブレーションの族を考えることで、周期、レギュレーターに超幾何関数そのものが現れることを示した。
朝倉氏、寺杣友秀氏（東大）との共同研究では、上記の研究で現れる超幾何関数の特殊値が代数的数のlogで書けるための必要条件を与え、超幾何関数論で古典的なWilsonの公式の一般化を与えた。朝倉氏との共同研究で４篇の論文を発表（2篇が掲載済み、2篇が投稿中）し、朝倉氏、寺杣氏との共同研究で１篇の論文を発表（投稿中）した。
平成27年度と29年度にはレギュレーターに関する研究集会を開催し、当研究を推進した。
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