Analysis of the structures of Iwasawa modules by arithmetic special elements

2017 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 25400013
• Research Institution: The University of Tokushima
• Principal Investigator: 高橋 浩樹 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 教授 (90291476)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 岩澤加群 / 一般Greenberg予想 / Kummer-Vandiver予想 / イデアル類群 / 円分体 / 円単数

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は，各種のp進ガロア表現に付随する岩澤加群の構造を特殊元を用いて具体的に調査し，実p分体のKummer-Vandiver予想，総実代数体のGreenberg予想，一般代数体の一般Greenberg予想などの未解決予想に対して詳しい成立理由を調査することである．
Kummer-Vandiver予想，総実代数体のGreenberg予想に関連して，二次体に1の原始p乗根を添加した体の円分Z_p-拡大に対する岩澤加群の構造について，二次体の判別式の絶対値が10未満に対しては1300万までの素数の範囲，判別式の絶対値が200未満に対しては60万までの素数の範囲において計算機による調査を継続的に実行した．後者において発見された例外的な実例の個数は順調に増加し，予測値に近似する値であることを確認した．また，判別式の絶対値が200未満に対して50万までの素数の範囲の計算結果の再チェックを終了した．
一般Greenberg予想に関連して，その背景となるコホモロジー群およびK群との対応について実験および考察を進めた．p分体の整数環のMilnor K群からK群への写像の全単射性はp部分に限れば成立する可能性が高くMcCallum-Sharifi予想と呼ばれている．4p分体に対する類似の問題も興味深く，4p分体に対する二次のMilnor K群についてp単数群のペアリングを計算して，自明と呼べる零の存在を明らかにし，非自明な零の個数は均等性を基にする予測値にほぼ近似する値であることを確認した．この計算結果は，一般Greenberg予想の成立を支持するものであると言える．さらに，p分体では得られなかった実円分体の類数の非自明性に由来する零の存在が確認できた．