アラケロフ幾何学の手法を用いたレギュレーター写像の研究

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25400017
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 竹田 雄一郎 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (30264584)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: アラケロフ幾何学 / レギュレーター写像 / チャーン指標 / リーマン・ロッホの定理

Outline of Annual Research Achievements

筆者は，アラケロフ幾何学における計量つきベクトル束の算術的チャーン指標の理論を高次化することを目標に研究を行っている．それは，算術的多様体のレギュレーター写像の，アラケロフ幾何学における類似物を構成することに相当する．前年度までに筆者は，高次算術的K群の構成や，高次算術的K群から高次算術的チャウ群へのチャーン指標を構成することに成功した．
本年度は，算術的リーマン・ロッホの定義の証明に向けて，解析的トーションの理論の一般化，特にコンパクトでない多様体への拡張を試みた．本研究の目的を達成するためには解析的トーションの無限遠に沿っての挙動を明らかにすることが必要であることを，前年度の研究の中で示したので，本年度はまず，その挙動を明らかにするための研究を行った．しかし，現在知られている解析的トーションに関する研究結果を用いるだけではその目的を達成することが困難であることがわかった．
その後で，ホモロジー代数のテクニックを用いた別の方法による解析的トーションのコンパクトでない多様体への拡張を試みた．その方法を用いるためには，ボット・チャーンの高次特性類の理論をベクトル束の複体に拡張することが必要かつ十分である．現在までに，1次の特性類についてはそのような理論を構成することができた．これを用いると，1次の算術的K群に対するリーマン・ロッホの定理を定式化することができる．2次以上の理論については，扱う対象が複雑になるために，これまでに得られた手法だけでは条件をみたす高次特性類の理論を構成することができないことがわかった．現在その困難を乗り越える方策を模索中である．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

解析的トーションに関するこれまでの研究成果をそのまま適用するだけでは，本研究の目的を達成することができないことがわかった．したがって，本研究に役立つ解析的トーションの理論を一から作る必要があり，そのための時間が必要になった．

Strategy for Future Research Activity

本研究の目的を達成するためには，解析的トーションの無限遠に沿った挙動を明らかにする必要があるが，それは解析学上の困難があり，それを乗り越えることが難しい状況である．したがって，今後は解析的トーションが登場しない，アラケロフ幾何学の全く別種の理論構成を行いたいと考えている．具体的には，コーシー・リーマン作用素やベクトル束の計量が登場しない算術的多様体上の交点理論や特性類の理論を構築したいと考えている．もしこれが達成されれば、上述の解析的トーションの問題はそもそも起こりうることはないので、自然な形式で本研究の目的が達成されると考えている．

Causes of Carryover

本年度ローマで開催予定だった「アラケロフ幾何学セミナー」が中止になったため．

Expenditure Plan for Carryover Budget

次年度パリまたはバルセロナに出張して，Burgon教授と本研究について討論を行い，本研究の目的達成のための助言を得ることを考えている．