アラケロフ幾何学の手法を用いたレギュレーター写像の研究

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25400017
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 竹田 雄一郎 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (30264584)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: アラケロフ幾何学 / チェック理論

Outline of Annual Research Achievements

筆者は，アラケロフ幾何学における計量つきベクトル束の算術的チャーン指標の理論を高次元化することを目標に研究を行っている．それは，算術的多様体のレギュレーター写像の，アラケロフ幾何学における類似を構成することに相当する．これまでに筆者は，高次算術的K群の構成や，高次算術的K群から高次算術的チャウ群へのチャーン指標を構成するなどの成果を挙げてきた．
前年度までは，算術的リーマン・ロッホの定理の証明に向けて，解析的トーションの理論のコンパクトでない多様体への拡張に関する研究を行ってきたが，解析的な困難を乗り越えることができなかった．そこで本年度は，これまでアラケロフ幾何学で用いられてきた計量や滑らかな微分形式のような解析的道具を用いない，新しいアラケロフ幾何学の構築に向けて研究を始めた．そのために参考にしたのは，D. ToledoとY. Tongによる，チェック理論を用いた特性類の表示の理論である．筆者はまず，算術的曲面（代数体上の曲線の整数環上のモデル）の場合に研究を行った．具体的には，Deligneコホモロジーを定義する層のチェック複体を考えて，その上でBurgosによる一般グリーン対象の理論を適用することにより，グリーン対象の類似をリーマン面上のチェック複体の中に構成することに成功した．また，グリーン対象のスター積を構成するために，Deligneコホモロジーの積構造を用いてグリーン対象のスター積を定義することを目標に研究を行ったが，これについては本年度中に成果を挙げるには至らなかったので，次年度に持ち越しとなった．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当初の研究計画がうまくいかないことが判明したので，それに替わる方法を試しているところである．これまでのところ，当初の目論見どうりの成果が得られている．

Strategy for Future Research Activity

前年度の研究成果を引き継ぎ，まずは算術的曲面上でチェック理論に基づくアラケロフ理論を完成させることを目標に研究を行いたい．それが完成した後に，より高次元の多様体に対する同様の理論の構築に向けて研究を進めたいと考えている．

Causes of Carryover

本年度のアラケロフ幾何学の国際研究集会は京都で行われ、筆者の研究協力者のBurgos教授が来日したので，多額の旅費を使用して海外出張する必要がなくなった．

Expenditure Plan for Carryover Budget

国内の研究集会に参加するための旅費として使用する．