非超楕円曲線からなるペンシルを持つ代数曲面に関する研究

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25400058
• Research Institution: Ichinoseki National College of Technology
• Principal Investigator: 高橋 知邦 一関工業高等専門学校, 教授 (50259793)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 代数曲面 / ファイバー空間 / 堀川指数 / 非超楕円曲線 / 相対2次超曲面 / 変形族

Outline of Annual Research Achievements

本研究では非特異射影曲線上のファイバー空間の構造を持つ非特異代数曲面を研究の対象としている。主として、一般ファイバーが非超楕円曲線であるものを考えている。25、26年度は種数が4である場合を中心に研究を行ってきた。研究のテーマは次の2つである。（1）一般ファイバーの階数が3である場合のファイバーの堀川指数を確定し、勾配等式を求めること。（2）一般ファイバーの階数が4であり、堀川指数の総和が1/2である場合の曲面の変形族を構成すること。
（1）は解決まであと1つの問題が残っているという状況である。具体的にはある種の特異曲線を持つ曲面の正規化において、正規化前の曲面の双対化層の正規化による引き戻しと、正規化後の曲面の双対化層（標準層）の差がどのように与えられるか、という問題が未解決であり、これが解決すればすべてが解決することとなる。この特異曲線が、既約かつ非特異である場合は解決の見通しがある程度立っている。一方、特異曲線が可約でかつある種の特異点を持つ場合は、同じような方法では解決できるかどうか難しいところである。関連する文献を参照しつつ、解決の方策を模索しているところである。
（2）については、得られる結果として、堀川指数が1/2であるファイバーを1つだけ持つ曲面が、堀川指数が1/4であるファイバーを2つ持つ曲面へ一般化される、という形の変形族が構成されるということが予想される。堀川指数が1/2であるファイバーを1つだけ持つ曲面同士の変形族は構成できているのだが、堀川指数が1/4であるファイバーを2つ持つ曲面の変形族が、それらを含む相対2次超曲面の構造が扱いにくいため、まだ結果が得られていないというのが現在の状況である。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

一般ファイバーが種数が4、階数が3である非超楕円曲線であるようなファイバー空間の構造を持つ曲面の堀川指数の確定の問題はかなり進んでおり、あと一つの問題が解ければ証明が完結する。しかし、その問題が予想外に難しく、交付から2年たった現在も解けていない。曲面の正規化において正規化前の双対化層が正規化により引き戻されたとき、正規化後の双対化層との差がどのようになるかという問題であり、正規化する特異曲線がある種の特異点を持つ場合が特に扱いが困難である。関連する多くの文献を参照してみたが、直接適用できる結果は見つけられなかった。従って、これらの文献を参考に、自ら曲面の正規化に関する検証をしなければならない。
一般ファイバーが種数が4、階数が4である非超楕円曲線（Eisenbud-Harris 一般曲線とも言う）であるようなファイバー空間の構造を持つ曲面で堀川指数の総和が1/2である曲面の変形族の構成もある程度までは進んでいる。このような曲面のうちでモジュライ空間の中で一般的であると予想されるものの変形族の構成がやはり予想以上に難しい。その理由は次のとおりである。一般的でないと予想される曲面を含む3次元多様体はある種の孤立特異点を持つのだが、そのため具体的な双有理変換により、扱いやすい3次元多様体へ変換でき、変形族も構成しやすかった。一方、一般的であると予想される曲面を含む3次元多様体は特異点を持たないため却って他の扱いやすい多様体への変換ができず、変形族も構成しにくい。また、その3次元多様体のピカール群も正確に表しにくく、よってその中での曲面の線形同値類も正確には表しにくい。これらのことが解決が難しく、研究が遅れている原因となっている。

Strategy for Future Research Activity

一般ファイバーが種数が4、階数が3である非超楕円曲線であるようなファイバー空間の堀川指数の確定の問題は曲面の正規化による双対化層の問題を解決しなければならない。前年度はいくつかの方法を試みてみたが、証明するまでに至らなかった。今年度は既に得られているいくつかの例を精密に解析し、それを一般化することにより解決の道筋を立てるという方法をとる。このような例は3通り得ており、そのうちの1つは正規化の対象となる特異曲線がある種の特異点を持つ。具体的には1点で交わる3つの有理曲線であり、正規化後は1点で交わる3つの楕円曲線になる。この曲面の構造を重点的に解析し、解決の方策を考えていく。同時に、曲面の特異点に関連する文献のうちで本研究に役立つと思われるものを精読し、別の角度からこの問題を検証するということも試みたい。
一般ファイバーがEisenbud-Harris一般であるような種数が4の曲線であるファイバー空間を持つ曲面でその堀川指数の総和が1/2であるものの変形族の構成の問題は、これらを含むある種の非特異3次元代数多様体の構造を正確に表すということが最大の難点である。高次元多様体の分類に関する研究は盛んにおこなわれており、これに関連する文献は膨大なものになる。その中から、小平次元が負の無限大になるものに関する文献をできるだけ多く当たり、我々の研究に役立ちそうなものを見つけ、それらを参考に解決の方策を練りたい。また、大学等でのセミナーにて研究の途中経過の報告の形での発表をし、他の研究者からのコメントを得るということもしていく。