2015 Fiscal Year Research-status Report
非超楕円曲線からなるペンシルを持つ代数曲面に関する研究
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25400058
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| Research Institution | Ichinoseki National College of Technology |
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Principal Investigator |
高橋 知邦 一関工業高等専門学校, 教授 (50259793)
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2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 代数曲面 / 非超楕円曲線 / ファイバー空間 / 堀川指数 / 相対標準写像 / 相対2次超曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では非特異射影曲線上への一般ファイバーが非超楕円曲線であるようなファイバー空間の構造を持つ代数曲面の構造を調べること、特に、曲面の不変量に影響を与える退化ファイバーの分類をすることが第1の目標である。さらに、このような曲面に対して、上記退化ファイバーに関するある種の条件の下、変形族を構成することが次なる目標である。具体的には、（１）ファイバー種数が4でかつ階数が3の場合に退化ファイバーの堀川指数が矛盾なく定義できることを示し、その結果を基に曲面の分類、変形族の構成を行うこと、（２）ファイバー種数が4でかつ階数が4の場合に、堀川指数の総和の値を固定し、変形族を構成すること、（３）ファイバー種数が5でゴナリティーが3の場合に堀川指数を定義するために、ファイバー空間の勾配の下限を決定すること、の3点である。これに（４）ファイバー種数が3の場合にファイバー空間の底曲線を楕円曲線に設定し、変形族を構成することも新たな問題として加えることになった。
（１）については、ファイバー空間が定める乗法写像が全射とはならない場合について堀川指数が定められるか、という問題が残っており、現在研究が進行中である。乗法写像は各ファイバーに制限することができ、この制限された乗法写像が全射でないようなファイバーに対しても堀川指数が定められるかどうかが問題である。
（２）についてはファイバー空間の底曲線を有理曲線に設定して進める。まず、曲面の相対標準写像による像を含むような相対2次超曲面の構造を調べ、その変形族を構成する必要があり、現在進行中である。
（３）については今のところまだ大きな進展はなされていない。研究を進める方針の転換が必要であると思われる。
（４）については曲面の相対標準像を含むような楕円曲線上の射影平面束の変形族の構成がまずなされなければならない。これについてはすでに解決済みである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般ファイバーが種数が4かつ階数が3の曲線であるようなファイバー空間を持つ曲面に対する退化ファイバーの堀川指数を定める問題は大筋で解決している。あと曲面の正規化に関するいくつかのことを証明すれば問題が完結する。今年度中に論文として公表できる見込みである。
一般ファイバーが種数が4かつ階数が4の曲線であるようなファイバー空間を持つ曲面の堀川指数の総和をある種の値に固定した場合の変形族の構成の問題は、曲面の相対標準像を含む相対2次超曲面の構造を調べ、その変形族を構成する問題が解決されなければならない。相対2次超曲面が有理二重点を持つ場合はある種の扱い易い3次元多様体のある種の双有理変換で与えられることから、変形族が構成しやすい。よって、大筋で解決している。またこの場合は最終目的である曲面の変形族もその構成が完成しつつある。一方、相対2次超曲面が非特異な場合は、同様の双有理変換を取ることができず、変形族も構成できていないのが現状である。
一般ファイバーが種数が5でゴナリティーが3の曲線であるようなファイバー空間を持つ曲面の勾配の問題は、これまでの方法ではまだ解決の糸口がつかめていない状況である。
一般ファイバーが種数が3の非超楕円曲線であるような楕円曲線上のファイバー空間を持つ曲面の変形の問題に関しては、相対標準像を含む楕円曲線上の射影平面束の変形族の構成が解決しており、その内容をまとめた論文を現在投稿中である。この結果を基に、曲面の変形族の構成も進展させているところである。
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| Strategy for Future Research Activity |
種数が4かつ階数が3の曲線を一般ファイバーとするファイバー空間をもつ曲面の退化ファイバーの堀川指数の問題については、部分的解決という形で、研究集会で発表を行った。その際、何人かの聴講者からアドバイスを得ることができた。特に、曲面を正規化するための、その曲面を含む3次元多様体の双有理変換に関するコメントは非常に有用なものであったので、参考にして研究を進めていく予定である。
種数が4かつ階数が4の曲線を一般ファイバーとするファイバー空間を持つ曲面の堀川指数の総和の値を固定した場合の変形の問題は、その相対標準像を含む相対2次超曲面の構造と変形の問題が解決するために、小平次元が負の無限大であるような3次元代数多様体の分類理論に関する問題をもう少し範囲を広げて文献をあたってみて、解決のための方針を定め直していくことを考えている。
種数が5かつゴナリティーが3の曲線を一般ファイバーとするファイバー空間を持つ曲面の勾配の問題は、他のケースの勾配に関する文献が多数公表されてきているので、これらの文献を参考に解決の方針を練り直したい。一方、当初の解決策と考えていた、相対標準像を含む相対2次超曲面の交叉理論による方法も、引き続き考えていく。
種数が3の非超楕円曲線を一般ファイバーとする楕円曲線上のファイバー空間を持つ曲面の変形の問題は、その相対標準像を含む楕円曲線上の射影平面束の変形族の構成ができているので、堀川穎二による正則写像の変形理論を基に曲面の変形族の構成を進めていく。
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