2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400065
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
塚田 和美 お茶の水女子大学, 大学院人間文化創成科学研究科, 教授 (30163760)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
江尻 典雄 名城大学, 理工学部, 教授 (80145656)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 四元数多様体 / 全複素部分多様体 / 複素グラスマン多様体 / 実グラスマン多様体 / ツイスター空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
四元数多様体及び四元数（擬）ケーラー多様体の複素部分多様体あるいは（擬）ケーラー部分多様体を対象とし次のような課題を追求し成果を得るとともに、得られた研究成果を発表し、四元数複素微分幾何学に関する国内外の研究者による研究集会を主催した。
１．前年度までに得られた成果である「複素グラスマン多様体に対する全複素部分多様体の構成、分類理論」について、日本数学会で発表した。また、大阪市立大学数学研究所-慶北国立大学HGRG共催 微分幾何学ワークショップで講演し、特に複素グラスマン多様体の部分多様体論を研究する慶北国立大学の研究者と研究交流を行った。
２．複素グラスマン多様体に続き、同じく四元数ケーラー対称空間である実グラスマン多様体に対し、全複素部分多様体の構成、分類理論の研究を進めた。ツイスター空間及びその上の正則接触構造を具体的に記述することがこの研究の鍵となる。これに対し、複素2次形式をもつ複素ベクトル空間内の2次元部分空間でこの2次形式に関して等方的となるもの全体のなす等質ケーラー多様体が、実グラスマン多様体のツイスター空間であることを示し、またその上の正則接触構造を複素2次形式を用いて自然に与えることができるという成果を得た。この結果を応用して、実グラスマン多様体の興味深い全複素部分多様体の構成について研究を進めた。
３．本研究をさらに進展させるため、本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関する国内外の研究者による研究集会を2014年9月に筑波大学守屋克洋氏と共同で開催した。海外からも四元数理論を用いた曲面論を研究しているKatrin Leschke氏 （Leicester University、UK）を招き、研究討議を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的、研究実施計画に沿って研究が進み、目標とした研究課題について一定の成果が得られたので、「おおむね順調に進展している。」と判断した。
具体的には、「等質四元数多様体あるいは等質四元数（擬）ケーラー多様体の全複素部分多様体の構成分類理論の展開」という課題では、複素グラスマン多様体に続き同じく四元数ケーラー対称空間である実グラスマン多様体についてその全複素部分多様体の構成、分類理論の研究を進展させた。即ち、この研究の鍵となるツイスター空間及びその上の正則接触構造を具体的に記述することについて満足の行く形で成果を得た。また、前年度までに得られた成果である「複素グラスマン多様体に対する全複素部分多様体の構成、分類理論」について学会等で発表し、四元数複素微分幾何学に関する国内外の研究者による研究集会を主催するなど積極的に研究交流を進め、本研究の進展に寄与した。
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| Strategy for Future Research Activity |
1.四元数射影空間の横断的複素部分多様体に関する四元数複素微分幾何学の基礎理論を構築する課題に関しては、前年度までに得られた到達点を踏まえ、引き続き、次のような問題に重点的に取り組む：(1) 4次元球面内の曲面に対する Willmore汎関数に相当する汎関数を導入し，その変分問題の解となる部分多様体を研究する。(2) Baecklund 変換に相当する変換の理論，変形の理論を構築する。 (3) “四元数ベクトル空間の複素ラグランジュ錐の生成関数” についての研究分担者 江尻による理論を発展させ，四元数（擬）ケーラー多様体の横断的複素部分多様体の変換理論，変形理論の構築に応用できないか検討する。
2．等質四元数（擬）ケーラー多様体の全複素部分多様体の構成、分類理論を進展させる課題に関しては、平成26年度に研究された実グラスマン多様体に関する研究をさらに進展させる。また、同じく四元数ケーラー対称空間である例外型の G2/SO(4) について研究を開始する。そのツイスター空間及びその上の正則接触構造を具体的に記述することを目標にする。
3. 本研究をさらに進展させるため、昨年度に続き、本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関する国内外の研究者による研究集会を開催し、研究交流を進める。
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| Causes of Carryover |
昨年度に続き、学内機関であるセンターのセンター長を務め、同センターの業務増の事情もあり、国内外への出張がしにくく、直接訪問しての研究交流や研究発表がしにくかったこと。
以上のような理由で次年度使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
25年度、26年度に得られた研究成果を発表する機会を増やし、本研究をさらに進展させるため、本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関する国内外の研究者による研究集会を開催し、研究交流を進めたいと考えている。また、本理論を進展させる上で参考になる微分幾何学関係、Lie 環 の構造論及び表現論関係、可積分系理論に関する図書を中心に購入したい。純粋数学の立場だけでなく、相対論や宇宙論などへの応用にも関心をはらいたいので、その方面の文献も購入する。以上のように研究交流、研究成果発表を行うための旅費と図書購入費に多くの予算を充てる。
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