2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400113
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大山 陽介 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (10221839)
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2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | パンルヴェ方程式 / 漸近解析 / q-差分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度、q-パンルヴェVI型方程式の構造を調べるために、対応するq-差分線型方程式の大域構造を調べた（レンヌでの国際会議で発表）ことに引き続いて、第3，5q-パンルヴェ方程式の構造を調べた。まず、特殊解として原点の周りでの有理型解を調べた。第3，5q-パンルヴェ方程式が原点の周りで有理型の時は、正則になること（極を持たない）、さらにその場合は、対応する線型化方程式の接続行列が、q-合流超幾何方程式の接続行列で記述できることを調べた（ゲントでの国際会議で発表）。ちなみに、q-合流超幾何方程式の接続問題は、十年前にZhangによって解かれている。
さて、q-差分線型方程式に関してはバーコフによる拡張されたリーマン・ヒルベルト対応が知られていたが、q-差分線型方程式が不確定特異点を持つ場合には、リーマン・ヒルベルト対応に関してはほとんど何も分かっていない。一般論がわかってない状況ではあるが、q-パンルヴェV型方程式の場合も、原点の周りでは二重級数的なべき級数解をもつこと、そしてその場合も、接続行列はq-合流超幾何方程式の接続行列と、Heineのq-超幾何方程式の接続行列の積で記述できることを示した（パリ、リールでのセミナーで発表）。この結果は、数年前の眞野智行氏によるq-パンルヴェVI型方程式の場合の結果の不確定の場合の類似になっていると考えられる。q-パンルヴェIII型方程式以外の場合も同様であると思われるが、他の場合はよくわかっていない。
q-パンルヴェ方程式の接続問題に関しては、眞野氏と申請者の結果以外にはほとんどなく、今後の課題となっている。そのためにもq-線型方程式の接続問題を解かなければいけないが、2階超幾何系の中で手付かずで残っていた、q-Weber方程式の接続問題が解けた（リールでのZhang氏との共同研究）ことで一歩前進を見た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
「第1から第6まですべてのパンルヴェ方程式の漸近展開の完全なリストを作る」は期間内に難しい状況になっている。しかしながら、25年度から引き続いき、q-パンルヴェ方程式の漸近展開については進展が見られ、おそらく今後数年で、これまで未開拓だったq-パンルヴェ方程式の漸近展開に関して、とりあえず研究の筋道をつけることはできそうに感じている。合わせて、「やや遅れている」と判断したが、25年度に比べると追いつきつつある。
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度の研究目標としては、q-パンルヴェ方程式に対して接続問題を考えて、一通りの研究の道筋をつけたい。研究の長い蓄積のある、パンルヴェ微分方程式の場合ですらも、接続問題が完全にわかったと言える状態ではないことを考えると、短期間で完成させるのは難しいものの、微分方程式の場合同様に、わかってない場合でも接続問題・漸近解析の道筋をつける程度のことは1年でかなりの程度出来るはずである。パンルヴェ以前にq-超幾何方程式の大域問題を完全に決定する必要があるが、q-Weber方程式の接続問題が曲がりなりにも解けた(もう少し整理したい）ことから、あとは第3q-ベッセル方程式の接続問題を残すのみになっている。
q-パンルヴェ方程式でも、I型、II型にあたる場合はまだよくわかっていない。非線型q-ストークス問題については、問題設定すらもはっきりしてないので、第2パンルヴェ方程式のアブロビッツ・シーガー解のような良い具体例を作れればと感じている。
研究目標のもう一つに掲げた、微分方程式の場合も忘れているわけではなく、第4，第5パンルヴェ方程式の漸近公式やパデ近似を用いた解の構成などを行いたい。特に第4パンルヴェ方程式のパデ近似を用いた解の構成は、数値実験するにも適当なものである。第3、第5パンルヴェの楕円漸近解も特別なパラメタの場合には非常によく分かっているので、一般化していく。「ブートルゥー100年」プロジェクトが予定には間に合わなかったが、2，3年遅れでも完成させるのが申請者の勤めだと思っている。
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| Causes of Carryover |
本年度は、11月に京大数理研で国際研究会を開いたため、旅費を多く見込んでいた。実際に人を招へいすると、外国人の多くは渡航費を自国の資金でまかなってくれたために、思ったよりも余った。しかしながら、単年度で見ると直接経費では約150万円使っており、前年度からの繰越額を減らしている。
また、研究計画を多少見直して、q-差分系の研究にシフトするようになったため、2015年度にリール大学で開かれる、この分野の大規模な国際研究会のために少し残額を残すことにした。リール大学も、q-差分方程式の漸近解析の世界的な中心地の一つである。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
繰り越しした助成金で、秋に行われる予定のリール大学での国際研究会（申請者は組織委員を務める）のための旅費などに用いる。それ以外にも、シドニー大学での国際研究会へも参加する予定のため、来年度も今年度以上の旅費が必要になると予想される。
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