2014 Fiscal Year Research-status Report
ワイル群不変な多変数楕円超幾何関数の差分方程式系の研究
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25400118
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
伊藤 雅彦 東京電機大学, 未来科学部, 教授 (30348461)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 楕円超幾何関数 / 楕円セルバーグ積分 / 補間関数 / Askey-Wilson 積分 / Dixon-Anderson 積分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者・伊藤は、メルボルン大学 Peter J. Forrester の協力を得て、Dixon-Anderson型q-級数（A型楕円超幾何関数のパラメータp→0の極限として得られると想定される級数）の和公式に関する成果を２本の共著論文にまとめた。これらは学士院紀要 Ser. A Math. Sci. および J. Math. Anal. Appl. 誌に掲載された。
また研究代表者・伊藤は、メルボルン大学 Nicholas S. Witte の協力を得て、Askey-Wilson型積分（1変数BC型楕円超幾何関数のパラメータp→0の極限）が満たす差分方程式系を応用して、数理物理における1次元量子sl_2普遍XXZモデルの量子逆散乱法および直交多項式系との関連を議論し、共著論文にまとめた。これも J. Math. Anal. Appl. 誌に掲載された。
楕円超幾何関数の差分方程式を具体的に表示するには、差分ドラームコホモロジーの基底を決める必要があり、望ましい基底の取り方は「補間関数」という対称関数の族に関係することがわかっていた。平成25年度に引き続き、平成26年度も研究代表者・伊藤は連携研究者・野海正俊（神戸大）と「補間関数」の構成について議論を重ね、この研究が必要とする「補間関数」の具体的な表示を得た。また応用として、(1) BC型楕円セルバーグ積分の楕円ガンマ関数表示、(2) BC型楕円超幾何級数の和公式、に関する「補間関数」を用いた証明法を与えた。この証明では、積分を差分方程式の解とみなすことが重要で、その差分方程式の導出に「補間関数」が使われている。一方、差分方程式の境界条件は「補間関数」とは独立に求めなければならない。境界条件として、楕円超幾何に特有の漸近挙動を採用した。上記(1)(2)の内容を日本数学会年会（明治大学）「無限可積分系セッション」で発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
楕円超幾何関数に付随する「補間関数」の研究が進んで、中間成果を学会で発表できたこと。
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| Strategy for Future Research Activity |
楕円超幾何関数に付随する「補間関数」の研究をさらに進めて、楕円超幾何関数が満たす差分方程式のランクが高い場合に「補間関数」を応用することで、その差分方程式の解の接続問題を解決する。接続問題を具体的に解くことによって楕円超幾何関数の和公式、変換公式を理解する。
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