2013 Fiscal Year Research-status Report
トロピカルNevanlinna-Cartan理論の完成と複素解析的手法への還元
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25400131
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
藤解 和也 金沢大学, 電子情報学系, 教授 (30260558)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 国際研究者交流 / Finland / Joensuu / Nevanlinna Theory / entire function / max-plus algebra / ultradiscrete equation / differential equation |
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| Research Abstract |
今年度の研究実績として最も重要なことは、max-plus infinite series で表現されている、いわゆるトロピカル超越整関数に関するものである。前研究課題に於ける成果として、今回も連携研究員をお願いしている石崎教授（放送大学）と共同で q-series expansion を持つ複素平面上の整函数に関する対数の意味での位数とタイプについて、その展開係数との関係を表す評価式を与えていた。The workshop in the honour of Ilpo's 70th birthday にてその成果を発表した際、複数の参加者から有益な関連情報を得た。それを動機づけとして、級数展開の係数の0への収束と超越的な函数の大きさ自体の急激な増大の評価方法は、実際は複素解析学に限定されず、例えばトロピカル直線としての実軸上で定義される区分的線型な連続関数についても同様な評価が導かれることを示すに至った。複素解析とmax-plus解析とが、関数の級数表示、結論としての評価式さらにはその証明法のすべてに於いて形式的な超離散化を通して1対1に対応しているというのがその趣旨である。特にq‐解析との相性の良さについてはPainleve 方程式の特殊解の対応関係などで良く知られていることから、今後はその方向での研究成果を期待している。
また多変数関数に関する理論構築への可能性の模索として Risto Korhohen 氏と共にトロピカル射影空間の正則曲線に関する値分論の提案を行ったほか、多変数複素函数についても上記した対数位数とタイプとの関係を確認した。
本研究課題達成と更なる発展のためには、整函数を係数にもつ複素常微分方程式の有理型函数解についてより深い理解が必要であることから、Gol'dberg, Ostrovskii and Petrenko がこれらの増大度に関する深淵な問題を提案していたことを知り、その解決に向けて Janne Heittokangas 氏を招聘して議論を積み重ねた。これらについては一定の成果を得て共著論文の形にまとめている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今年度の当初の目的は、トロピカル射影空間への正則写像に関する値分布理論の確立が主であった。特に、max-plus の意味での線型独立性の解釈については複数の可能性から最もふさわしいものを選び、複素射影空間への正則写像に関する H. Cartan による値分布理論の対応物を得ることを目指した。この目的はKorhonen教授らとフィンランドで応募した外部資金が獲得でき、教授の金沢を訪問が実現したことで、充実した議論を重ね早期に目的へと到達できた。
一方、招聘予定だった Laine教授は突然ご家族がご病気となり次年度以降に改めて招聘することになった。然し、報告者がUniv. of Eastern Finland を訪問し研究連絡と今後の予定について打ち合わせを行い以降は電子メールによる情報交換にてLecture Notes のための原稿執筆も支障なく進み、またそれを通じてultrasdiscrete equations に関する知見を広めることができた。これらの成果をLaine, Korhonen 両教授との共著であるLecture Notes に加えている所である。
また、招聘の順番を入れ替え、Heittokangas 博士を金沢に招聘したことにより滞在期間が日本数学会の開催日程と重なり報告者はそれを欠席せざるを得なくなった。然しながらそのお蔭で通常業務が非常に少ない時期に当たり、双方が早朝から夜遅くまで大学後には自宅に招き議論を継続した結果、regular growth という概念とそれに関連する様々な手法や結果を習得し、多様な例の構成も含め総合的な理解が非常に深まった。それによって示すことができた結果を共著論文の形にまとめているところである。
以上が、自己点検を上記とした理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
Lecture Notes 執筆を完成するとともに、そこで得られた新たな研究の方向性や問題意識をさらに推し進めていく。特にPainleve 方程式のultrasdiscrete analogueに関する研究について、下村俊教授（慶応大学）, N. Steinmetz, A. Hinkkanen 及び Laine 教授の値分布的な評価の超離散版への試みを行う。その準備として、現在得られている多くの超離散版Painleve方程式の特殊解について、前年度以上に深い理解を試み、その目的を達成したい。これらの考察を行った後で目指す複素解析的な手法への還元とは、具体的にはより簡素かつ直接的な証明方法の可能性の有無についての提示となると考えている。
整函数を係数にもつ複素常微分方程式の有理型函数解に関するGol'dberg, Ostrovskii and Petrenko の問題についても、完全解決には程遠いと言わざるを得ないが、その超離散化を提案することは可能である。その試みについても、Univ. of Eastern Finland の研究者グループを主に緊密な議論を推し進めることが、本研究課題を今後も引き続き推進させていく最良の方策であり、Laine, Korhonen, Heittokangas の各氏の招聘並びに同機関への訪問は必須である。
同時に、日本国内にPainleve方程式並びにその離散化方程式の可積分性に関して極めて重要な研究を続けている先達や新進気鋭の研究者が世界をリードし続けているという現状を利用しない手はない。より多くの指導や助言を得られるように、研究集会の参加や機関訪問などについて有益な研究計画を立てる。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
本課題に於いて極めて重要な共同研究を行っているIlpo Laine 名誉教授(Univ. of Eastern Finland)の金沢大学への招聘時期が、ご家族の突然の病気により延期されたため。年度末まで報告者が当地を訪問することも考慮したが、家庭の事情がどうしてもそれを許してはくれなかったことがその理由である。また、Risto Korhonen 教授については関連研究について外部資金を得て来日が実現したため。
病状は一進一退との連絡を受けており、現時点では明確に招聘の日程を示すことが困難であるが、本年度の後半に約一週間の招聘を計画している。代替案として、上記したフィンランドの外部資金は今年度は使用できないので、Korhonen, Heittokangas の両研究者のいずれかを本科学研究費補助金により招聘する。二人はLaine教授の弟子であり、常に緊密な研究連絡を行っていることから、目的にかなう成果を上げることができる上に、それぞれとの共同研究テーマについてもより緊密に議論が実施可能になるためである。国際研究者交流に分類できる本研究課題は、報告者と上記3名の2000年以降の公私を通じた強い信頼関係を基礎にしている。上記の使用計画はそれを根拠にしたもので、決してその場しのぎの案ではないことを敢えて強調する。
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