2015 Fiscal Year Research-status Report
トロピカルNevanlinna-Cartan理論の完成と複素解析的手法への還元
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25400131
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
藤解 和也 金沢大学, 電子情報学系, 教授 (30260558)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | トロピカル値分布論 / ネバンリンナ理論 / 超離散方程式 / 有理型函数 / max-plus代数 / 国際研究者交流 / Finland / Joensuu |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度の研究実績は、以下の通りで何れも研究計画と実施計画に沿う内容である。１．R.Korhonen氏とトロピカル射影空間への区分的線型な写像に対する値分布を研究し、その結果はAdvances in Mathematics で掲載決定となった。２．I.Laine氏とK. Liu氏と複素函数方程式に関する結果の超離散版の可能性を検討し、その結果をAnnales Academiae Scientiarum Fennicae. Mathematica に投稿し掲載が決定した。３．Korhonen氏とN. Li氏と微分作用素を用いた複素射影空間への正則曲線に対する値分布理論の書き換えを、増大度の小さな周期的な曲線との交差に関する分布理論に拡張して、その結果を Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Mathematica に発表した。４．J. Heittokangas氏、,Laine氏、Z-T. Wen氏と指数函数の多項式を係数にもつ二階線形常微分方程式の超越的整函数階の値分布論的な特性を研究しある未解決問題との関係を考察した。その内容を Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Mathematica に発表した。
この他、Laine氏との共同研究としてトロピカル値分布論を有限区間上で定義される区分的線型な連続関数への拡張を試み、その成果を国際研究集会で招待講演を行った。また、特別な超離散方程式の一般解とはどのようなものであるか、またその導出にどのような手法が可能かについての新たな知見を得た。これらは当該年度前半に出版された著書 Tropical Value Distribution Theory and Ultra-discrete Equations の内容を改良・発展させる成果となっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の計画では完成した理論の応用としては、ある程度形式的なものに留まるを得ないと予想されていた。然し、複素常微分方程式の整函数あるいは有理型函数解に関する結果と、それらを超離散化して得られるある種の超離散方程式に対して具体的な解を構成することによりその可積分性を導くことができ、さらにそこから動機づけられて指数関数の多項式を係数にもつ複素線形微分方程式の解の増大度の正則性に関して考察が進んだ。複素射影空間の正則曲線に対するカルタンンの値分布理論については、先の研究で微分作用素を差分作用素にて置き換え同様な理論を構成していたが、本研究では課題としていた2つお応用を完成し得た。一つは有理型函数の場合と同様に「動く的」への拡張であり、他方はトロピカルな実射影空間への区分的線型な曲線の値分布論としての完成である。これらの何れも、当該課題開始以前から何度も試みながら完全に解決できなかったテーマであり、それらを何れも評価の高い出版誌に発表でき、期待した以上の成果となった。併せて、論文執筆の途中ではあるが、ユークリッド的なシフト作用を、有限区間内のいわゆる双曲的なシフト作用素に置き換えてトロピカルアイアイ分布理論を構成するという目標についても、本年度の研究に於いてほぼ満足できる形で達成ができた。以上は本研究課題を計画した際には思いもよらなかった進展となっており、それが上記の区分を選択した理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
残されているのは、有界区間上のトロピカル値分布理論の完成及び超離散方程式の解法を微分あるいは差分方程式を解くための既知の手法と関連付け、簡明なアルゴリズムを提案することの2点である。何れも、当該度の末（共同研究者の家庭的事情により翌年度にまたがって）実施したFinlandのJoensuu市への渡航に於いて、東フィンランド大学数学教室の3名の研究者と討論を重ねた結果、大まかな指針を得る事が出来ている。今後は、さらに相互訪問を行って細部に関する検証を重ねつつ認められた実施期間内での論文完成を目指していく。現在、定期的に原稿のファイルを電子メールで送り合い、内容の改良と拡張を試みており、今後はこれを継続していきながら、相互訪問をして総合的かつ集中的な議論が可能になった時に互いの思考に「化学変化」が起きえる環境を整えていくことが最も有望な方策と考えている。
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| Causes of Carryover |
本課題研究計画の遂行のため当該年度末にUniversity of Eastern Finlandを訪問して、上記３名の研究者と集中的な共同研究を実施するべく計画をしていた。ところが、そのうち２名について家族の病気治療および近親者の逝去と言う事態が発生したため、本申請者の公務との関係と受け入れ先との再調整が必要となった。その結果、日程を数日遅らせることで共同研究を大よそ当初計画通りに実施することができた。数日ではあるが帰国が年度を跨いでしまったため、次年度使用額が生じることとなった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
使用については全ての学を既に渡航費用（帰国分）として執行することが確定している。一方で、その渡航日程の変更で３名の共同研究者のうち１名とは十分な議論を行うことができていなかった。そのため、本課題研究費からは支出されないが課題に関係する共同研究のために５月２５日から６月２日の期間、その１名の研究者 Risto Korhonen教授が本学に滞在する。この研究活動により研究課題の中身についても計画通りに遂行したいと考えている。
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| Remarks |
University of Eantern Finland の３名の研究者（Ilpo Laine, Risto Korhonen, Janne Heittokangas)との共同研究。同大所在地のJoensuu市は値分布論の創始者 Rolf Nevanlinna の生誕地。1996年開催の生誕１００年記シンポジウム参加が契機となり以降、共同研究を継続している。
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