2015 Fiscal Year Research-status Report
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25400159
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
中西 賢次 大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (40322200)
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2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 非線形分散型方程式 / ソリトン / 散乱理論 / 解の爆発 / 中心安定多様体 / 励起状態 / 臨界指数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
主な研究成果として、一つは対象となる解の大きさと種類を拡げる事を目指し、ポテンシャル付非線形シュレディンガー方程式について調べた。空間球対称かつ小質量の制限下で、第一励起ソリトンを少し超えるエネルギーまでの解を時間挙動で完全分類した。但し第一励起ソリトンとは一定質量に対し最小エネルギーの基底状態ソリトンに次ぐ二番目に小さなエネルギーのものを指す。分類はエネルギー空間で９通りの解に分かれ、時刻大で第一励起ソリトンの近傍に留まる解全体が成す余次元１の中心安定多様体と、その時間反転の中心不安定多様体が境になる。更に、安定な基底状態ソリトンに対して空間遠方から大エネルギー放射性波動が撃ち込まれ有限時間爆発するシナリオがこの相空間では安定な挙動で、爆発挙動へ遷移する前には必ず一度だけ第一励起ソリトンの近傍を通過する事も示された。不安定なソリトンから安定なソリトンへの遷移については、小さなソリトンに対して多くの数学的研究があるが、上記の結果は全く大きさの異なるソリトンが有る状況で、ソリトン近傍に限らない一般解の分類として記述し、不安定ソリトンの重要性も明確にした所が特長である。
もう一つは方程式の設定を拡げる事を目指したもので、４次元空間でのザハロフ方程式の初期値問題適切性と散乱について調べた所、指数領域の端点で非線形システム特有と思われる興味深い臨界現象を見出した。一つはエネルギー空間に置いて、ソボレフ埋蔵の臨界現象により非線形評価が破綻するにも拘らず、より小さな空間と大きな空間での結果に保存則を組み合わせてエネルギー空間での結果を導出する事ができた。これは指数が端点でも関数空間が中間空間である事が効いており、スカラー方程式における臨界現象では考え難い。しかし別の端点指数では、解が一瞬で初期値空間から外れてしまうという強い非適切性も得られ、中間空間だけでは無理である事も明示された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形分散型方程式の大域ダイナミクスについて、散乱・爆発・安定ソリトン及び不安定ソリトンという４つの典型的挙動を全て含む相空間での分類及び相互関係・遷移現象の記述に成功した。球対称や小質量など、設定に関しては限定的だが、非線形分散型の代表的な方程式である３次元３次の非線形シュレディンガー方程式が対象なので、物理的には自然な設定で有り、数学的には解の多様性に関して重要な進展であると思われる。４次元のザハロフ方程式は物理的には不自然だがエネルギー空間での臨界現象とその対処法は解析的に興味深く今後の発展が期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
非線形分散型方程式のダイナミクスの多様性について、ポテンシャル付非線形シュレディンガー方程式に対する解析を更に進め、特に球対称性を外した相空間での一般解全体像を追及する。この場合、ポテンシャルの存在に依る平行移動・ガリレイ変換に対する不変性の破れが、解分類と挙動遷移の境である中心安定・不安定多様体に影響し、重大な違いを生じる可能性がある。特に、ポテンシャル中心に固定された真ソリトンへの弛緩的漸近と、ポテンシャルの効かない空間無限遠へ逃げる自由ソリトンへの漸近との中間的状況が問題になる。前者２つに関しては古典近似を用いた解の構成がソリトンが安定な場合に幾つか成されているが、不安定なソリトンの場合に、より広い範囲の解についての解析が必要となる。特に中間的状況での時間大域的解析は困難が予想されるため、ポテンシャル自体が束縛状態を持たない等の簡単化された設定で先ず全体像を得る事も考えている。
上記の設定では外部ポテンシャルの導入で若干人工的に２つのソリトンが生じる状況にしているが、非線形項に依るソリトンの多様性が生じる典型例の解析として、平面波解の摂動に関する大域解析を考えている。これは超流動などでは空間遠方で減衰する解よりも自然な設定で、渦輪を持つソリトンなど様々な解が知られている。研究実績には字数制限上記載していないが、３次元球対称且つ小さな初期摂動の場合にエネルギー空間での散乱理論構築（平面波の漸近安定性）に成功しており、大摂動への拡張によってソリトンとの関係、対称性の時間挙動への影響などを調べる計画である。
同様に、４次元ザハロフ方程式でも大エネルギーの大域解析を試みる。この場合は、大きな自由波動をポテンシャルに持つシュレディンガー方程式の分散性評価がネックとなる事が分かっており、線形・双線形評価の開発も目標とする。
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| Causes of Carryover |
所属研究機関の移籍に伴う研究体制の整備に思ったほど費用がかからなかった事と、海外研究訪問及び成果発表のための旅費・滞在費を先方からの補助により削減できたため、来年度計画を考慮して支出を抑制した。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
９月に国際研究集会を開催予定で、招待講演及び研究討論のため、海外研究者を招聘予定。またそれとは別に７－８月にも海外研究者を招聘予定。
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[Presentation] Global dynamics of nonlinear dispersive equations2015
Author(s)
Kenji Nakanishi
Organizer
Introductory Workshop: Randomness and long time dynamics in nonlinear evolution differential equations
Place of Presentation
Mathematical Sciences Research Institute (アメリカ・バークレイ)
Year and Date
2015-08-27 – 2015-08-28
Int'l Joint Research / Invited
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