2016 Fiscal Year Annual Research Report
Global dynamics of nonlinear dispersive equations
| Project/Area Number |
25400159
|
|---|
| Research Institution | Osaka University |
|---|
Principal Investigator |
中西 賢次 大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (40322200)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | 非線形分散型方程式 / 解の大域挙動 / ソリトン / 基底状態 / 励起状態 / 解の爆発 / 漸近安定性 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の大きな成果の一つは、非線形 Schrodinger 方程式の大域ダイナミクスに関して、２つの大きく異なるソリトン族を含むエネルギー空間領域での分類と記述に成功した事である。具体的には、線形と非線形ポテンシャルを両方含む場合について、夫々が主要な相互作用として生成する基底状態ソリトンと第１励起状態ソリトンを含むようなエネルギー制約条件の下で解の大域挙動を分類し、また変遷の仕方を記述した。前年度までの研究では球対称解に制限していたが、最終年度の研究により対称性の制約は外せることが分かった。ここで線形ポテンシャルが導入する空間非斉次性により、ガリレイ変換に対応するソリトンの族は壊れて原点に留まるもののみとなるが、爆発解と基底状態への漸近解を分ける境界面の存在（余次元1の不変多様体）は維持される。この境界面上の解の挙動と、もう一つの制約である小質量を外した場合の状況は、今後の研究の重要課題となる。
他方、大域ダイナミクスの解析対象を広げる試みとして、一般化 KdV 方程式や水面波の方程式、Zakharov 方程式系、最終年度には Gross-Pitaevskii (GP)方程式や共形不変非線形波動方程式などを調べた。KdV と波動方程式では挙動境界を構成したが、境界からのずれを記述する線形化作用素が単純な指数的不安定性を示さないのが困難な点である。GP に対する研究では、3次元反発性非線形項の Schrodinger 方程式に対する平面波解の漸近安定性を、空間局所的な摂動から球対称性を持つエネルギー空間での摂動へ拡張した。また、4次元の Zakharov 系について、エネルギー空間での解析を大きな解へ拡張するため、波動方程式で発展するポテンシャルを持つ線形方程式に対する時空大域評価を、基底状態ソリトンの制約下で導出することに成功した。
|
