2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400196
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| Research Institution | The University of Electro-Communications |
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Principal Investigator |
緒方 秀教 電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (50242037)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 代用電荷法 / 双極子法 / 解析関数 / 調和関数 / ポテンシャル / 周期関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、科学技術計算におけるポテンシャル問題（ラプラス方程式の境界値問題）の数値解法である代用電荷法および双極子法の理論的・実験的研究を目的としている。代用電荷法とは、ある領域でのポテンシャル（調和関数）に対し領域外部の仮想点電荷のポテンシャルを用いて関数近似を行う方法であり、双極子法とは点電荷の代わりに電気双極子のポテンシャルを用いて関数近似を行う方法である。両方法とも原理が簡単で計算の手間が小さい割に、問題によっては指数関数的収束するという高精度を達成するという特徴がある。
本年度の研究では、この代用電荷法・双極子法を複素関数論における解析関数の近似に適用するという研究を行った。具体的には、ある複素領域における複素解析関数は実部が調和関数そして虚部がその共役調和関数という点に着目し、実部の調和関数を問題領域のポテンシャル問題の解とみなして代用電荷法あるいは双極子法で近似解を求めることにより近似を行う。その実部の調和関数の近似に対し、共役調和関数である虚部は簡単に計算できるので、それらを統合してもとの複素解析関数の近似関数を得ることができる。
この研究に関連して、天野氏（愛媛大学名誉教授）らの代用電荷法による数値等角写像の研究があるが、これは複素解析関数である写像関数を代用電荷法で近似するものであり、本研究はこれを複素解析関数近似という視点であらためて捉えたものである。一方、双極子法による解析関数近似は数学的には新しいタイプの有理関数近似
であり、複素関数論で基本的なコーシーの積分公式を離散近似したものと見ることができる。
また、本研究では周期解析関数の代用電荷法または双極子法による近似も行った。これに対しては、通常の点電荷・双極子ポテンシャルの代わりにラプラス作用素の周期的基本解を近似に用いている。
本研究の結果は、国際会議１件、国内会議１件で発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
交付申請書では、ストークス流方程式、弾性方程式など重調和関数に関係する問題に対する代用電荷法・双極子法の研究も行う予定であった。重調和関数は「グルサの公式」により複素解析関数を用いて表すことができ、よって、代用電荷法や双極子法による近似が原理的には行えるはずだった。ところが、解析関数近似の研究で手一杯で、重調和関数近似まで手が回らず、その点が本年度の研究成果としては残念なところである。
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| Strategy for Future Research Activity |
交付申請書では波動問題など様々な問題に対する代用電荷法・双極子法の研究を計画に盛り込んできたが、研究内容を絞り込んで、解析関数（調和関数）および重調和関数に関する代用電荷法・双極子法に研究内容を絞り込んで今後の研究を遂行したい。調和関数に対する代用電荷法についてはいくつかの理論的研究が発表されており、それらをもとに研究を行えば、例えば重調和関数に対する代用電荷法の理論誤差評価などを行うことが可能だと考えられる。
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