2013 Fiscal Year Research-status Report

エネルギースケール変形のテンソルネットワーク形式による繰り込み群解析

Research Project

Project/Area Number	25400401
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Research Institution	Kobe University
Principal Investigator	西野友年神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00241563)
Project Period (FY)	2013-04-01 – 2017-03-31
Keywords	エネルギースケール / テンソルネットワーク / 繰込み群 / 計算物理学 / エンタングルメント / 双曲変形 / 正弦２乗変形 / 一様性
Research Abstract	エネルギースケールを受けた量子系の熱力学を取り扱う準備として、まず相互作用が指数的に増大して行く１次元古典イジング模型の熱力学的性質を解析的手段により調べることに着手した。この系の自由エネルギーは転送行列形式により容易に求めることができ、相互作用の増加率κが小さければ高温領域で系の熱容量がほぼ一定となることが判明した。この現象は、エネルギー軸における一様性と表現し得るものである。特にκが２と等しいか、あるいはそのベキ根である場合、自由エネルギーの解析形は調和振子のそれと一致する。このような熱的な一様性は、相互作用が指数的に増大する一次元量子系も持ち得る可能性があり、この点について研究を継続している所である。一方、双曲変形された一次元量子系と、量子・古典対応を通じて結びついていると考えられて来た、双曲格子上の古典イジング模型の熱力学についての研究において、負の曲率が弱い場合の相転移を角転送行列繰込み群によって取り扱う方法を、A.Gendiar との共同研究の下で開発した。これまでに考えて来た双曲格子の最小単位である平面多角形を、幾つかの平面多角形の集まりとして構成すると、角転送行列繰込み群が適用できるのである。これを用いて解析を進めた所、相転移点での相関距離が双曲格子の曲率半径程度である事実が判明した。長さのスケールを持たない臨界現象が、空間の特徴的な長さによって変形され得るのである。この成果の取りまとめの為、A.Gendiar が来日しての研究打ち合わせを１度行い、研究論文を一遍投稿している所である。もう１人の共同研究者 R.Krcmar とは多面体模型の相図を作成し、論文投稿の準備を行っている所である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason スケール変換に対して不変な性質を持つことがハミルトニアンの形から容易に推定できる系は、指数変形された一次元古典系である。この単純な場合についての熱力学解析が、条件付きではあるが転送行列形式を使って行えることが判明した。この事実は、指数変形された一次元量子系の解析方法にひとつの指針を与えるものである。また、意外なことに、指数変形された系と、調和振動子系の比熱に対応が付く場合がある事実が判明した。つまり、指数変形された系は統計力学における熱浴として働く能力を持っているのである。このように、熱力学に関して予期しなかった知識が得られたことは興味深いものがある。いま一つのテーマであった双曲変形についても、それが古典統計系に対して働いた場合には、系に特徴的な長さが導入される結果として臨界現象が姿を消すという定性的に簡便な説明を得ることができた。この系の解析には非対称な角転送行列を数値的に取り扱うという計算安定上の問題があるが、A.Gendiar と共同でこの技術的な問題を乗り越えることができた。以上のように、古典統計力学の問題には一定の成果を得ることができた。一方で、指数変形や双曲変形を受けた量子系のスケーリング解析は、まだ下準備の段階であり、相互作用を含まない自由場の模型においても、基底状態の厳密な表現は得られていない。双曲変形された一次元量子イジング模型について、その励起ギャップの大きさと変形の強さの関係が幾つか得られているので、それを足がかりに今後の研究を進めて行く必要がある。量子系については、以上のとおり基礎的な進展の途中であると考えて良い。量子・古典対応を念頭に置けば、どちらか一方の進展は他方に移転できることを申し添えておく。
Strategy for Future Research Activity	古典統計系における研究の結果として、エンタングルメント・エントロピーが示す特異性が相関長の臨界指数と直接的な関係を持つことが判明した。量子・古典対応より、この事実は低次元量子系のゼロ温度における相転移（量子相転移）の検出及び分類にも有用であることが予測される。従って、コスタリッツ・サウレス（ＫＴ）転移を含む様々な相転移に対して、エンタングルメント・エントロピーを軸としたスケーリング解析を行って行く。また、エントロピーのみならず、密度行列のスペクトル自身が持つ構造にも着目し、その分布に相を特徴づける規則性がないか、確認して行く予定である。これまでの研究例では、励起ギャップを持たない一様系に対してエネルギースケール変形を持ち込むことが殆どであった。従って例えば、ギャップを持つ系に正弦２乗変形を施すと何が期待できるかについては、まだ判明していない部分が多い。場合によっては、ギャップの中に新たな局在状態が生まれることもある。この点については、数値解析を更に進め、定性的な結論を得たい。更に、ギャップを持つ系に対して、基底状態（あるいは特定の固有状態）のみを不変に保つハミルトニアンの変形がどのようなものであり、また局所的な相互作用定数の変化によりこの変形が実現できるかという、エネルギースペクトル構造のコントロールについても、今後は検討して行く予定である。階層的なエネルギースケールはテンソルネットワークの論理形式の中にも存在することが示唆されており、繰込み群計算のアルゴリズムの中に、階層を反映する量が含まれているかどうかも、今後は注意深く観察して行きたい。
Expenditure Plans for the Next FY Research Funding	２０１５年度には研究打ち合わせ・成果発表のために３週間スペインに出張する予定があり、また２０１６年度にはブラジルで同様の研究会が予定されている。これらの旅費に不足が生じないよう、２０１４年度には数値計算に用いる計算機の購入費用を抑えた。従って、予定したとおり次年度使用額が０以上となった。本年度の主な支出は上述のスペイン出張を含めた３回の海外出張と、計算能力を維持するためのパソコン購入であると予測している。当初の計画で予定してある 1000,000 円程度の支出を行い、２０１６年度に向けて多少の次年度使用額を残す計画とする。