2013 Fiscal Year Research-status Report
楕円曲面上の算術及びアーベル・ヤコビ写像とその応用
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25610007
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
徳永 浩雄 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (30211395)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
内山 成憲 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (40433172)
内田 幸寛 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (90533258)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 楕円曲面 / Zariski k組 / Mordell-Weil群 / Mordell-Weil格子 |
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| Research Abstract |
本年度は，楕円曲面の切断および多重切断の構成とその幾何学への応用について取り組んだ．楕円曲面の切断の幾何学については，博士前期課程の学生とともに，具体的なWeierstrass方程式で与えられた切断とそのm倍から定まる平面曲線および曲面を楕円曲線として見た際の位数2の点から定まる曲線の形状について考察を行った．また，すでに掲載が確定していた論文「Sections of elliptic surfaces and Zariski pairs for conic-line arrangments via dihedral covers」については，conic arrangementに関して，Note added in proof を付け加えたものが，2014年度中に出版予定となった．
多重切断の幾何学について，2重切断については，2重切断の構成とそのZariski N 組への応用について取り組み，これまでの，conic arrangement に加え，他の低次の曲線配置の例の具体的な構成について取り組み，これに成功した．これらの成果は，各種研究集会において口頭発表行うとともに，ポスター発表（with E. Yorisaki, S. Bannai, A Zariski $4$-plet for line-conic-cubic arrangements, Branched Coverings, Degegenrations and Related Topics 2014, 広島大学）を行った．
3重切断については，その具体的な計算法について考察した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的は，楕円曲面の生成ファイバーを函数体上の楕円曲線とみなし，そのMordell-Weil群やAbel-Jacobi写像の性質を，楕円曲面上の幾何学として解釈し，Galois分岐被覆の構成やそのトポロジー他への応用を考察するというものである．2013年度の研究では，具体的なWeierstrass方程式で与えられた楕円曲面について，有理点を具体的に求め，その有理点のm倍で得られる曲線の形状について考察を行った．つづいて，2重切断のの構成とそZariski N 組への応用については，Mordell-Weil格子としてD4の双対格子をもつものを中心に研究を行った．Mordell-Weil格子がD4の双対格子を含む場合は，Mordell-Weil群の生成元が分かれば，そこから，Zariski N 組の候補を構成できる．しかしながら，その候補が実際にZariski N 組であることを確認するためには，現状では楕円曲面を具体的なWeierstrass方程式を用いて与え，そのMordell-Weil群の生成元を決定する必要があった．2013年度は，具体例に与えられた例に対し，博士前期課程の学生および共同研究者の坂内真三氏とともに，Mordell-Weil群の生成元等を明示的に求め，既約4次曲線と3つの既約2次曲線からなる10次曲線，および，直線+非特異3次曲線+3つの既約2次曲線からなる10次曲線からなるZariski 4 つ組の構成をした．なお，これらの例についてそのトポロジーを区別するにあたって，従来のGalois分岐被覆を用いる手法をrefineした手法を用いている．この点は今後さらなる応用がみこまれている．3重切断については，具体的な構成方法について，計算をすすめている．以上の状況を鑑みると本研究は概ね順調と考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
1. 2013年度までに得られた成果を論文としてまとめ，査読付きジャーナルの投稿する．
2. 2013年度までの成果で低次の曲線配置のZarsiki N 組が楕円曲面の生成ファイバー上の数論的な性質を利用することで得られることがわかった．これらの例はどちらかといえばまだad hocな例の構成にすぎない．そこで，Mordell-Weil格子の構造がすでに知られている有理楕円曲面に対象を限り，組織的な研究を開始し，低次の曲線配置（特に既約成分の次数が4次以下の曲線の配置）のトポロジーについて新たな知見を得ることを目指したい．
3. これまでの研究では，Mordell-Weil格子やAbel-Jacobi写像の一般論を用いてZariski N 組の候補の平面曲線を絞り込むことはできるものの，実際にZariski N 組を与えているか？，すなわち，絞り込んだ平面曲線のcombinatorial typeが本当に等しいか？という点を確かめるには，平面曲線の定義方程式を具体的にあたえ，特異点の形状や既約成分の交わっている様子を数式処理ソフト等を用いて確認する必要があった．数式処理ソフトを用いた計算はいわば力技であり，より複雑な曲線に関して研究をすすめる場合はネックとなる．そこで，これまでの結果をintrinsicな議論のみで証明することを目指したい．
4. 3重切断の幾何学に関し研究をすすめ，これを応用することを目指す．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
2013年度は，当初予定していた研究協力者と日程の調整がつかなかったため，取りやめた国内出張が一件，公務のため，取りやめた外国出張が一件あったため．
2014年度は，情報収集を含む研究連絡に加え，国内外の研究集会に昨年度より積極的に参加することで，昨年度分もあわせて計画を遂行する予定である．
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