2013 Fiscal Year Research-status Report
端ウェイト加群を用いた量子アフィン代数の有限次元既約加群の研究
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25800006
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Tokyo University of Agriculture and Technology |
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Principal Investigator |
直井 克之 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 講師 (40647898)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 量子アフィン代数 / minimal affinization |
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| Research Abstract |
minimal affinizationは量子アフィン代数の有限次元既約加群の中の比較的大きなクラスであり、Kirillov-Reshetikhin加群やA型のevaluation加群のような重要な既約加群を含むものである。またminimal affinizationは全てprimeと呼ばれる特別な性質を有している。
prime加群はクラスター代数と量子アフィン代数の有限次元加群との関係を記述する上で欠かせない対象であり、その意味でもminimal affinizationの重要性はより高まっているといってよい。
研究代表者は古典型の場合のminimal affinizationについて、次数付き極限を用いることでその構造について詳細な研究を行った。ここでいう次数付き極限とは、古典極限を少し変形することで次数構造を付加した加群のことである。その結果として、古典型のminimal affinizationの次数付き極限に対しその定義関係式を決定するとともに、拡大Demazure加群と呼ばれる全く異なる加群と同型であることを証明した。
この結果の帰結として、Demazure作用素と呼ばれる差分作用素を用いた指標の表示、結晶基底を用いた組み合わせ論的な重複度の表示、Jacobi-Trudi公式と呼ばれる指標公式の証明、最高ウェイトを極限に飛ばしたときの指標公式の簡明な表示、などの結果を得た。
これまで量子アフィン代数の有限次元既約加群に対し、その指標公式はごく限られてものにしか与えられていなかった。そのため、古典型のminimal affinizationの場合にごくわずかな例外を除いて指標をすべて決定した上の結果は、非常に意義のあるものであると考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
量子アフィン代数の有限次元既約加群について、minimal affinizationという比較的大きなクラスについてその構造を調べることが出来た。これは大きな成果であり、おおむね順調に進展しているといってよい。ただ、端ウェイト加群との関係はあまりはっきりとはしておらず、今後の課題といえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
端ウェイト加群についても次数付き極限を定義することが出来る。今後は上に述べた結果と端ウェイト加群の次数付き極限との関係に着目をして研究を進めていきたいと考えている。
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