2016 Fiscal Year Annual Research Report
Scaling limit for stochastic models originated from Hamiltonian dynamics
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25800068
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
佐々田 槙子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00609042)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 流体力学極限 / ハミルトン系 / 非勾配型 / スペクトルギャップ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
古典物理学で非常に重要な決定論的モデルである一次元非調和振動子鎖にランダム項を加えたモデルから、確率熱方程式を導出することに既に成功した。この結果は、ハミルトン系に由来したモデルに対する平衡揺動問題を初めて厳密に示したものである。本結果をまとめた論文は、Probability Theory and Related Fields に出版された。さらに、ノイズの大きさを極限操作により０にした時に、どのような変化が現れるかについて、既存の研究にはなかった新しいタイプのスケール極限の結果を得ることができた。具体的には、スケール極限においてノイズの大きさを0にする際に、ノイズの大きさを0にするスピードに合わせて、時間変数のスケーリングにも変更が必要であるということを明らかにした。さらに、このスピードによって、スケール変換後に得られる極限のマクロな振る舞いが通常の拡散型になる場合と異常拡散型になる場合にわかれることを明らかにした。
もう一つの主要な研究目的であった確率的エネルギー交換モデル（SEEM）に対する流体力学極限の証明について、マクロな振る舞いを導出する鍵となるspectral gapの詳細な評価を得た。本結果をまとめた論文は、Annals of Probability に出版された。さらに、非勾配型モデルに対するエントロピー法の重要なステップである閉形式の特徴付けについて、幾何学的な見地からコホモロジーの枠組みで捉え直すことで、多くの新しい知見を得た。特に、閉形式の特徴付けの問題で典型的に現れる１形式の分解の意味付けが、空間への群作用に由来した群のコホモロジーにより明らかになることを示した。
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