2015 Fiscal Year Annual Research Report
Eisenstein類を核とした数論幾何的予想の解決に向けた戦略的研究
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26247004
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
坂内 健一 慶應義塾大学, 理工学部, 准教授 (90343201)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山本 修司 慶應義塾大学, 理工学研究科, 講師 (20635370)
大坪 紀之 千葉大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60332566)
小林 真一 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80362226)
安田 正大 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90346065)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 代数学 / 整数論 / 数論幾何 / L関数の特殊値 / ポリログ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主に、ネコバー・ショル氏によって提唱されたプレクティック構造についての理解を最も中心的な研究課題と位置付けて、この理論を用いて総実代数体の場合に対応するポリログを構成し、具体的記述を目指した。プレクティック構造の理論に関しては概要だけの論文が発表されたが、その後詳細については明らかにされていない。このため、分担者の安田正大氏（大阪大）、小林真一氏（東北大学）とともに6月、7月、9月、10月、11月、12月、1月、2月と計８回、２～４日間に渡る短期集中型の研究会を行った。この研究会には、坂内、山本（分担者）、高井（特任助教）、太田（特任助教）、山田（D2）も加わり、期間中終日議論を行う、という形式で研究を進めた。主に ① Hodge実現の場合のプレクティック構造の理解と諸性質の証明、② 総実代数体の場合に対応するポリログの構成、③ Beilinson予想が導かれるための仕組みの理解、の３点を主な研究目標とした。結果として、プレクティック構造のHodge実現の振る舞いについて予測でき、②のポリログを極めて自然な形で構成できることが判明し、プレクティック構造の導入により高次元の場合の番号が見事に合うことを確認できた。この構成をもとに、ポリログを具体的に記述するための微分方程式の予測が立ち、べき級数の収束を無視した形式的な計算で、Beilinson予想で期待されるゼータ関数の特殊値が導かれることが期待される状況となった。以上、2015年度の4月から11月は、研究が極めて順調に進んだ。しかしその後、思いのほか困難に直面し、部分的な進展はあるものの現時点で決定的な成果は上がっていない。また、以上の研究と並行して、Hilbert modular多様体のEisenstein類の具体的表示に関するKings氏との共同研究も行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の最初の８ヶ月は、プレクティックを利用した理論で極めて興味深い成果が得られるという意味で、期待以上の進展が見られたが、その後、その結果を具体化する段階で困難に直面したため、全体としては概ね順調に進展している程度と考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、主にプレクティックの場合の計算を行う。直面している困難については、問題をさらに多角的に捉えることで打開策を見出す。そのために、セミナーを開催や研究集会への参加を通して最新の情報を収集して議論を重ねる予定である。
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