2017 Fiscal Year Annual Research Report
Strategic Reseach using Eisensterin classes to prove Conjectures in Arithmetic Geometry
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26247004
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
坂内 健一 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (90343201)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山本 修司 慶應義塾大学, 理工学研究科(矢上), 准教授 (20635370)
大坪 紀之 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (60332566)
小林 真一 九州大学, 数理学研究院, 教授 (80362226)
安田 正大 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (90346065)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 代数学 / 整数論 / 数論幾何 / L関数の特殊値 / ポリログ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は昨年に引き続き、太田和惟氏を特任助教、小野雅隆氏を研究員として雇用し、ネコバー・ショル氏によって提唱された混合プレクティックHodge構造の理論の基本的な性質を整備することに努めた。特に、抽象的に定義される混合プレクティックHodge構造の圈の対象を、次元分の重みフィルトレーションとホッジフィルトレーションを伴う加群で具体的に書けることを示した。また、この圈におけるExt群を具体的に記述することに成功した。さらに、重みフィルトレーションが１つしか無い場合、どの様な条件を課すと本当に混合プレクティックHodge構造を与えるかを考察した。これらの成果は論文にまとめて、学術誌へ投稿した。また、Deligne-Beilinsonコホモロジーをlog Dolbeaut複体を基軸とした具体的な複体で記述する研究を進めた。そして、この記述を用いて、乗法群の直積のポリログを具体的に書く研究を進めた。この場合のポリログのHodge実現は、１次元の場合に現れるBloch-Wigner-Ramakrishnannポリログ関数を用いて表されるDeligne-Beilinsonコホモロジーの類であることを具体的に示した。また、これらの研究を通して、総実代数体に付随するある種の代数トーラスの重要性に注目し、この場合のポリログが、総実代数体のHecke L関数と関係の深い、新谷ゼータ関数の特殊値の母関数と関係する可能性を示唆する結果を得た。この結果は、この代数トーラスのポリログと総実代数体のHecke L関数の特殊値が関係することを示唆する、画期的な成果である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
プレクティック構造を考察する過程で、総実代数体に付随するある種の代数トーラスに注目することになり、この代数トーラスのポリログと、総実代数体のHecke L関数と関係の深い、新谷ゼータ関数の特殊値の母関数が関係することを示唆する結果を得た。この知見は、極めて画期的であると思われる。よって、当初の計画以上に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、総実代数体に付随する代数トーラスのポリログと、新谷ゼータ関数の特殊値の母関数の関係をより詳しく調べていく。特に、新谷ゼータ関数は、coneの取り方に依存して定義される非標準なものであるが、この様な非標準なものと、ポリログの様な標準的なものが何故結びつくのか、考察する。また、このポリログの等分点での値の計算方法も考察する。
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