2015 Fiscal Year Annual Research Report
導来圏の安定性条件とDonaldson-Thomas不変量の研究
| Project/Area Number |
26287002
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 准教授 (20503882)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 連接層の導来圏 / Donaldson-Thomas不変量 / 非可換変形 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
代数多様体上の連接層の導来圏は、双有理幾何学、非可換代数、シンプレクティック幾何学とのミラー対称性等と関わる大変重要な研究対象である。３次元双有理幾何学においてはフロップと呼ばれる操作が重要であるが、このフロップによって導来圏が多くの場合で保たれることは以前から知られていた。一方、３次元フロップを２回合成すると導来圏の自己同値が得られるが、この自己同値を記述する際に層の非可換変形を用いる必要があることが近年になってDonovan-Wemyssにより発見された。昨年度の研究でDonovan-Wemyssが考察した３次元フロップに付随する非可換変形代数の次元が、Gopakumar-Vafa不変量と呼ばれる量子不変量と関わることが明らかになった。Gopakumar-Vafa不変量とは代数多様体上の曲線を数える不変量であり、連接層を数え上げるDonaldson-Thomas(DT)不変量の特別なものと理解して良い。今年度はその研究を受けて、より一般的な状況で非可換変形代数とDT不変量の関係を明らかにするための数学的基礎づけを行った。３次元フロップとは限らない一般的な状況で、代数多様体上の安定層のモジュライ空間を考えると多くの場合で射影的な代数的スキームとなる。このスキーム上にKapranovの意味でのNC構造を弱めた擬NC構造が入ることを証明した。更にこの擬NC構造を用いて、安定層のモジュライ空間上の非可換仮想構造層の概念を導入した。一方、Donaldson-Thomas不変量とは安定層のモジュライ空間を用いて定義される量子不変量であるため、この擬NC構造とDT不変量との間の関連も期待される。今後、これらの非可換構造を用いてDT不変量への応用を与える事が課題である。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
安定層のモジュライ空間上に大域的な非可換構造が入ることを発見したのは予期せぬことであった。この発見により、今年度は非可換変形の研究に専念することになった。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今後、今年度の研究で導入した擬NC構造を用いて定義した不変量と通常のDonaldson-Thomas不変量の関係を明らかにし、これを用いてDT不変量の未解決問題である多重被覆公式問題にアプローチする。また、通常のDT不変量のモチーフ化であるモチーフ的DT不変量についても研究を進めていきたい。安定層のモジュライ空間上の良い向き付けデータが必要不可欠であるため、これについて考えていく。
|
| Causes of Carryover |
長期海外出張により、海外から研究者を招へいする機会が例年より減ったため。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
帰国後、海外研究者の招聘などに使用する。
|
