2018 Fiscal Year Annual Research Report
Stability conditions on derived categories and Donaldson-Thomas invariants
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26287002
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (20503882)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ３次元カラビヤウ多様体 / Bridgeland安定性条件 / d-臨界的スキーム / 連接層の導来圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元カラビヤウ多様体上の安定対象のモジュライ空間はDonaldson-Thomas不変量の研究やシフト化された導来スキームの研究と関わる重要な数学的対象であるが、その双有理幾何的性質については付随する特異点が通常扱うものよりも悪い特異点であるためこれまで議論されてこなかった。一方、これらのモジュライ空間にはJoyceが導入したd-臨界構造が入ることが知られている。今年度は、d-臨界構造を持つスキームに対してd-臨界フリップやd-臨界フロップといった双有理変換の類似物を定義した。これらは通常の双有理変換ではなく、いわば仮想的な双有理変換と呼ぶべきものである。更にDonaldson-Thomas不変量の研究で用いられた３次元カラビヤウ多様体上の安定対象のモジュライ空間の壁越え図式が、d-臨界フリップやd-臨界フロップによって記述できることを証明した。これにより、従来までは問いを与える事すらできなかった３次元カラビヤウ多様体上の安定対象のモジュライ空間の双有理幾何学について新たな道が拓かれることになった。
更に通常の双有理幾何学においては代数多様体の間のフリップやフロップが与えられるとそれらの連接層の導来圏の間に充満忠実関手や同値が存在することが予想されている。この予想はD/K予想と呼ばれている。そこでd-臨界フリップやd-臨界フロップに対しても同様の現象が存在することが期待される。３次元カラビヤウ多様体上のPandaripande-Thomas安定対のモジュライ空間がd-臨界フリップで関係づけられる特殊な状況において連接層の導来圏の間に充満忠実関手が存在することを証明し、D/K予想のd-臨界版が成立する可能性を示した。より一般の場合には「圏論的DT理論」の概念を導入することでd-臨界版D/K予想を定式化できると考えており、今後の研究課題である。
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| Research Progress Status |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Causes of Carryover |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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