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2014 Fiscal Year Annual Research Report

アレクサンドロフ空間のリプシッツ構造・崩壊理論とスペクトル逆問題の新展開

Research Project

Project/Area Number 26287010
Research InstitutionKyoto University

Principal Investigator

山口 孝男  京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00182444)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 太田 慎一  京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00372558)
磯崎 洋  筑波大学, 数理物質科学研究科(系), 教授 (90111913)
塩谷 隆  東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90235507)
Project Period (FY) 2014-04-01 – 2019-03-31
Keywordsアレクサンドロフ空間 / 測度距離空間 / 相転移性質 / スペクトル理論 / 勾配流
Outline of Annual Research Achievements

・アレクサンドロフ空間の任意の点からの距離関数が正則であるような距離球が、SLC(強リプシッツ可縮であることを証明した。また、アレクサンドロフ空間の「良い被覆」という概念を、任意の空でない有限交叉が錐的でSLC であるという条件により定め、任意のアレクサンドロフ空間が局所有限な良い被覆をもつこと、良い被覆の脈体(nerve)と同じホモトピー型をもつこと、および、曲率の下限、直径の上限、体積の下限が一様に押さえられたn次元アレクサンドロフ空間が、グロモフ・ハウスドルフ距離に関して安定的な良い被覆をもつことを証明した。
・測度距離空間の列の相転移性質について,オブザーバブル直径を用いた必要十分条件を得た.これを用いて代表的なリー群が相転移性質をもつことを証明した.また,離散的な測度距離空間のl_p積のオブザーバブル直径の評価を行った.さらに別の研究として,閉曲面の等径定数の評価を与えた.
・無限遠において一般的な挙動を許す非コンパクトなリーマン多様体、さらにオービフォールドに対してスペクトル理論を構築し、S行列から多様体を再構成する逆問題を解決した。六角格子等の物理的に重要な例を含む格子上のシュレーディンガー作用素に対して散乱の順問題を解決した。
・Miklos Palfia氏(京都大学)と共同で距離空間上の弱凸関数の勾配流を研究し,CAT(0)空間で知られていた収縮性などの性質を,論文中で「可換性」と呼んだ空間が「リーマン的」であることの本質である概念を導入することで,CAT(1)空間に拡張した.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

勾配流の張り合わせなどの道具を整備し、アレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピー構造解明への手がかりを得ることができた。またアレクサンドロフ空間の良い被覆の概念をつくり、その安定性や有限性を示したことにより、脈複体によるアレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピー構造解明の別の手法を与える可能性が生じた。また非コンパクトなリーマン多様体、さらにオービフォールドに対してスペクトル理論を構築したことにより、崩壊する非コンパクト・リーマン多様体のスペクトル逆問題解明への可能性が高まった。また測度距離空間の列の相転移性質について,代表的なリー群が相転移性質をもつことが分かり、将来これを一般化することにより、新しいタイプの収束理論を創出する可能性が生まれた。

Strategy for Future Research Activity

アレクサンドロフ空間が良い被覆の脈体にリプシッツの意味でホモトピー同値であることを証明して行く。直接的にアレクサンドロフ空間の上でホモトピーをつくる手法より、脈体と空間の積構造を考えて、そこから複体への射影の写像柱を介して両者の間のリプシッツ・ホモトピーを構成する手法を追求して行きたい。また崩壊する非コンパクト・リーマン多様体のスペクトル逆問題解明とァレクサンドロフ空間の弱い意味での2回微分可能性を用いてスペクトル逆問題を進展させて行きたい。境界つき3次元アレクサンドロフ空間の崩壊理論の論文執筆を完成させ、4次元アレクサンドロフ空間の崩壊理論にも取り組む。また境界つきリーマン多様体の崩壊理論もその端緒を開いていく。

Causes of Carryover

事情により共同研究者である三石史人氏の京都大学招聘の数が制限された。またYaloslav Kurylev氏を京都大学に招聘する予定であったがスケジュールの関係で実現しなかった。

Expenditure Plan for Carryover Budget

共同研究者である三石史人氏を年間通して一定のペースで京都大学に招聘する。またYaloslav Kurylev氏を京都大学に招聘するか、または研究代表者がロンドンにKurylev氏を訪問して共同研究する予定である。また次年度は、MSRI(バークリー、米国)に2ヶ月の滞在の予定で、その間の往復旅費などに使用する予定である。

  • Research Products

    (18 results)

All 2015 2014 Other

All Journal Article (8 results) (of which Peer Reviewed: 8 results,  Open Access: 1 results) Presentation (8 results) (of which Invited: 7 results) Book (1 results) Remarks (1 results)

  • [Journal Article] Collaspsing three-dimensional closed Alexandrov spaces2015

    • Author(s)
      A. Mitsuishi and T. Yamaguchi
    • Journal Title

      Trans. AMS.

      Volume: 367 Pages: 2339-2410

    • DOI

      10.1090/S0002-9947-2014-06091-1

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Estimate of isodiametric constant for closed surfaces2015

    • Author(s)
      Shioya, Takashi
    • Journal Title

      Geometriae Dedicata

      Volume: 174 Pages: 279-285

    • DOI

      10.1007/s10711-014-0017-9

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Splitting theorems for Finsler manifolds of nonnegative Ricci curvature2015

    • Author(s)
      Shin-ichi Ohta:
    • Journal Title

      J. Reine Angew. Math

      Volume: 700 Pages: 155-174

    • DOI

      10.1515/crelle-2013-0011

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Stability of strongly Lipschitz contractible balls in Alexandrov spaces2014

    • Author(s)
      A. Mitsuishi and T. Yamaguchi
    • Journal Title

      Math. Z.

      Volume: 277 Pages: 995-1009

    • DOI

      10.1007/s00209-014-1289-3

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Locally Lipschitz contractibility of Alexandrov spaces2014

    • Author(s)
      A.Mitsuishi Ayato and T.Yamaguchi
    • Journal Title

      Pacific J. Math.

      Volume: 270 Pages: 393-421

    • DOI

      10.2140/pjm.2014.270.393

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Inverse scattering on multi-dimensional asymptotically hyperbolic orbifold2014

    • Author(s)
      H. Isozaki, Y. Kurylev and M. Lassas
    • Journal Title

      Contemporary Mathematics

      Volume: 615 Pages: 143-163

    • DOI

      10.1090/conm/615/12290

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A Rellich type theorem for discrete Schroedinger operators2014

    • Author(s)
      H. Isozaki and H. Morioka
    • Journal Title

      Inverse Problems and Imaging

      Volume: 8 Pages: 475-489

    • DOI

      10.3934/ipi.2014.8.475

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the curvature and heat flow on Hamiltonian systems2014

    • Author(s)
      Shin-ichi Ohta:
    • Journal Title

      Anal. Geom. Metr. Spaces

      Volume: 2 Pages: 81-114

    • DOI

      10.2478/agms-2014-0003

    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Presentation] 境界つき3次元アレクサンドロフ空間の崩壊2015

    • Author(s)
      山口孝男
    • Organizer
      2015年日本数学会年会幾何学分科会
    • Place of Presentation
      明治大学
    • Year and Date
      2015-03-24 – 2015-03-24
  • [Presentation] Concentration, convergence and dissipation of spaces2015

    • Author(s)
      T.Shioya
    • Organizer
      New Trends in Optimal Transport
    • Place of Presentation
      University of Bonn
    • Year and Date
      2015-03-02 – 2015-03-06
    • Invited
  • [Presentation] Inverse scattering on non-compact manifolds with general metric2014

    • Author(s)
      H. Isozaki
    • Organizer
      Problemes inverses et domains associes
    • Place of Presentation
      Aix-Marseille University
    • Year and Date
      2014-11-28 – 2014-11-28
    • Invited
  • [Presentation] Metric measure limits of spheres and complex projective spaces2014

    • Author(s)
      T.Shioya
    • Organizer
      ERC conference on Optimal Transportation and Applications
    • Place of Presentation
      Scuola Normale Superiore, Pisa
    • Year and Date
      2014-10-27 – 2014-10-31
    • Invited
  • [Presentation] Gradient flows of semi-convex functions on CAT(1)-spaces2014

    • Author(s)
      Shin-ichi Ohta
    • Organizer
      ERC Workshop on Optimal Transportation and Applications
    • Place of Presentation
      Centro De Giorgi, Pisa
    • Year and Date
      2014-10-27 – 2014-10-27
    • Invited
  • [Presentation] Spectral theory and inverse problems for Laplacians on perturbed lattices2014

    • Author(s)
      H. Isozaki
    • Organizer
      AIMS conference
    • Place of Presentation
      Madrid
    • Year and Date
      2014-07-09 – 2014-07-09
    • Invited
  • [Presentation] Lipschitz homotopy structure of Alexandrov spaces2014

    • Author(s)
      T. Yamaguchi
    • Organizer
      Trends in Modern Geometry,
    • Place of Presentation
      University of Tokyo
    • Year and Date
      2014-07-08 – 2014-07-08
    • Invited
  • [Presentation] アレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピー構造2014

    • Author(s)
      山口孝男
    • Organizer
      京都大学数学談話会
    • Place of Presentation
      京都大学
    • Year and Date
      2014-06-25 – 2014-06-25
    • Invited
  • [Book] Introduction to spectral theory and inverse problems on asymptotically hyperbolic manifolds,2014

    • Author(s)
      H.Isozaki and Y. Kurylev
    • Total Pages
      251
    • Publisher
      Math. Soc. of Japan, World Scientific
  • [Remarks] Web Page of Shin-ichi OHTA

    • URL

      https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~sohta/

URL: 

Published: 2016-06-01  

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