2015 Fiscal Year Annual Research Report
アレクサンドロフ空間のリプシッツ構造・崩壊理論とスペクトル逆問題の新展開
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26287010
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山口 孝男 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00182444)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
太田 慎一 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00372558)
磯崎 洋 筑波大学, 数理物質科学研究科(系), 教授 (90111913)
塩谷 隆 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | アレクサンドロフ空間 / スペクトル逆問題 / 内半径崩壊 / 漸近的自己相似集合 / リプシッツ・ホモトピー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
・断面曲率が下に、境界の第２基本形式が一様に有界であるリーマン多様体で、内半径が０に近いような内半径崩壊多様体の構造を解明した。特に、内半径崩壊多様体の境界成分の個数が高々２であり、丁度２個の場合は内半径崩壊多様体は閉区間と境界成分の積に微分同相になること、(Gromov, Alexander-Bishopの結果の拡張),内半径崩壊多様体のグロモフ・ハウスドルフ極限空間が、曲率が下に有界なアレクサンドロフ空間になることを示し、更に直径が一様に有界であるとき、余次元１の内半径崩壊を完全に決定した。・既存のユークリッド空間における自己相似集合を、曲がった空間上の漸近的自己相似集合の概念に拡張し、そのハウスドルフ次元を決定した。例として、曲面上のシェルピンスキー・ガスケットのハウスドルフ次元を決定した。・曲率が下に有界なアレクサンドロフ空間は、良い被覆の脈複体(nerve)と同じリプシッツ・ホモトピー型をもつことを示した。これより、曲率が下に、直径が上に、体積が下に一様に有界なアレクサンドロフ空間の集合において、リプシッツ・ホモトピー型の有限性が得られた。・スティーフェル多様体と旗多様体の次元が無限大へ発散する列の極限空間が、それぞれ無限次元ガウス空間とそのある作用による商空間となることを証明した．応用として，これらの多様体のオブザーバブル直径の漸近的な評価を得た．・電磁気学の逆散乱問題を考え、無限遠の近傍では真空と一致し、有限部分では任意の異方性を許す媒質に関するマックスウエル方程式の外部境界値問題において、散乱作用素から領域の境界の１次元ベッチ数を定めることができることを示した。・フィンスラー多様体の等周不等式について、局所化と呼ばれる方法やBakryらによるΓ解析の一般化により、それぞれ不等式評価を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
アレクサンドロフ空間は、その上の良い被覆と同じリプシッツ・ホモトピー型をもつことを証明できた。任意に小さい良い被覆で、被覆の各要素である狭義凸領域のサイズが一様に有界にとれることを証明できれば、アレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピー収束性を示すことができる。この意味で、当面の目標であるアレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピー収束性の証明に近づいた。また今年度の研究により、境界付きリーマン多様体の崩壊に関して、内半径崩壊するものの構造がかなり解明された。その意味で、境界付きリーマン多様体の崩壊理論構築に向けた重要な足がかりを得ることができた。
スティーフェル多様体や旗多様体といった具体的な空間に対して、その次元が大きくなる時の極限空間が分かった。今後これを一般化することにより、測度集中現象についての、新しい理論に発展する可能性が出てきた。電磁気学の物理モデルにおいて、逆散乱問題に対する結果が出たことで、この手法を一般の非コンパクト・リーマン多様体のスペクトル逆問題に拡張できる可能性が開けた。等周不等式がフィンスラー多様体で展開されたことで、一般のアレクサンドロフ空間の幾何解析にも適用できる状況が確認された。
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| Strategy for Future Research Activity |
アレクサンドロフ空間上に、任意に小さい良い被覆で、被覆の各要素である狭義凸領域のサイズ比が一様に有界に取れることを証明することにより、アレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピー収束性を確立したい。また、境界付きリーマン多様体の崩壊に関して、内半径崩壊しない場合の極限空間の構造、特に特異点集合のハウスドルフ次元などを解明し、境界付きリーマン多様体の崩壊理論構築を目指して行きたい。一方で、崩壊する非コンパクト・リーマン多様体に対するスペクトル逆問題や、アレクサンドロフ空間に対するスペクトル逆問題にも取り組んで行きたい。
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| Causes of Carryover |
平成２８年度に大型の国際研究集会を企画しており、外国人数名のためのを招聘旅費が必要であったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２８年度に京都大学で、国際研究集会 「Geometric analysis on Riemannian and metric spaces」を開催する予定であり、外国人数名の招聘旅費として使用する計画である。
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