2015 Fiscal Year Annual Research Report
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26287015
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
竹井 義次 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (00212019)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 完全WKB解析 / 可積分系 / 離散パンルベ方程式 / ストークス現象 / 接続公式 / 中間畳み込み / 完全最急降下法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．本年度はまず、昨年度に開始したNalini Joshi氏（シドニー大学、豪）との離散パンルベ方程式の完全WKB解析に関する共同研究において大きな進展があった。モノドロミー保存変形と線型方程式に対する完全WKB解析の手法を用いることにより、ベックルンド変換を通じてII型の微分パンルベ方程式に付随する変形I型離散パンルベ方程式について、その超級数（transseries）解に対するストークス現象を明示的に表す接続公式の具体形を書き下すことに成功した（現在、報文を投稿済、本論文を準備中）。これまで、離散パンルベ方程式に関するストークス現象を具体的に表す接続公式は殆んど知られておらず、今回得られた結果はその意味で非常にインパクトの大きいものである。変形I型離散パンルベ方程式をII型の微分パンルベ方程式と連立させて一つの可積分系として捉えることが議論の鍵になった点から考えても、本研究の核心にも触れる重要な結果である。10月に数理解析研究所で開催した国際研究集会「超局所解析と特異摂動論」をはじめ、いくつかの研究集会でこの成果を発表した。
２．他方、数理解析研究所の大学院生の茂木貴宏君との共同研究では、２階方程式から中間畳み込み（middle convolution）により得られる高階方程式に対して、そのストークス曲線を決定する新たな処方箋を与えた（本論文を投稿済）。これは、以前に得られていたラプラス変換に関する完全最急降下法が、中間畳み込みにまで拡張されたことを意味する。本年度は河合隆裕氏（京大）、本多尚文氏（北大）との共著である仮想的変わり点に関する解説書"Virtual Turning Points"が出版されたが、そうした仮想的変わり点や新しいストークス曲線の扱いにおいて新たな方法論が開発されたという意味で、本研究の研究目的とも密接に関連する重要な結果である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
変形I型離散パンルベ方程式のストークス現象を具体的に表す接続公式が得られたと共に、完全最急降下法が中間畳み込みにまで拡張される等、研究は順調に進展している。特に、離散パンルベ方程式を微分パンルベ方程式と連立させて一つの可積分系として捉えるという視点から行っているN. Joshi氏との共同研究は、本研究の理念を大きく発展させるものである。こうした新しい方向の研究に時間が費やされ、当初の計画の中心課題であった「変わり点の交差」が起きる点での（４階のI型パンルベ方程式に対応する）最も退化したガルニエ系へのWKB解析的な変換の構成については残念ながら研究がやや遅れてはいるものの、申請の段階では全く想像していなかったN. Joshi氏との共同研究が大きく進展したという意味で、本研究は「当初の計画以上に進展している」と判断しても差し支えないであろう。
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| Strategy for Future Research Activity |
N. Joshi氏との共同研究では、離散パンルベ方程式と微分パンルベ方程式を一つの大きな可積分系として捉える。その意味で、この共同研究は本研究の中心理念を具現化するものと考えられる。変形I型離散パンルベ方程式のストークス現象を表す具体的な接続公式が得られるといった大きな進展が今年度に得られたが、他の（離散）パンルベ方程式や超幾何系といった線型方程式系への拡張等、この研究は更なる大きな発展の可能性を秘めている。今後は、メールでの連絡や相互訪問等、N. Joshi氏との連絡をより密にすると共に、コンピュータを用いた離散パンルベ方程式のストークス曲線の解析等にあたっては連携研究者の小池達也氏（神戸大）等の協力を適宜仰ぎながら、この方向の研究をより一層進めて行きたい。
同時に、「変わり点の交差」という現象を中心とした当初の研究計画に沿う研究についても、上記の研究と同時並行的に進めて行く予定である。上で述べたように、いろいろな変数やパラメータに関する時間発展をまとめて一つの大きな可積分系として捉えるという視点は両者に共通しており、この二つの研究を並行して進めることで両者に有機的な結び付きが生れることも大いに期待できる。離散パンルベ方程式の研究との関連性に注意を払いながら、「変わり点の交差」が起きる点での最も退化したガルニエ系への変換論の完成に取り組みたい。
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