2015 Fiscal Year Annual Research Report
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26287023
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
坂上 貴之 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10303603)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松本 剛 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (20346076)
柴山 允瑠 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (40467444)
前川 泰則 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (70507954)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 応用数学 / 流体力学 / 関数方程式論 / 数理物理 / 統計力学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究計画に基づき，今年度は以下の研究を行った．(P1) 一般化DeGregorio方程式の研究が大幅に進展した．昨年まではL2保存が成り立つ場合に，二次元エンストロフィーカスケード現象との関連で研究を進めたが，このカスケード現象の統計則が実はある安定定常解の近傍のランダム力学系が決めるものであるということが明らかになった．これは乱流カスケード現象のランダム力学系理論による記述の可能性を強く示唆する数学的に重要な発見である．さらに一般のLp保存のケースにまでモデルの数値的研究範囲を拡げた結果，このモデルは単にエンストロフィーカスケードにとどまらず，乱流統計における種々の量のカスケード現象を起こす一次元偏微分方程式になっていることが明らかになった．本成果はPhys. Rev. Eに掲載が決定している．その他，散逸的弱解に関する数学理論の論文をNolinearityのInvited Articleへ投稿が完了し現在査読を受けている最中である．本内容に関して国際研究集会(Fields institute)などでの招待講演や海外大学での講演(McMaster大学, Stanford大学など）も数多く行った．(P2)については，α点渦系の三体衝突によるエンストロフィーの特異散逸の研究が完成し，投稿を済ませており現在査読中である．特にこの成果はハミルトン力学系であるにもかかわらず，時間の方向を変えても，常に特異点がエンストロフィー散逸を起こすことが明らかになった．これは保存力学系における「時間の矢」の創成を示唆するものである．この現象が点渦系の正則化に依存せず観察される現象であるかどうかについて，よく知られているδ正則化でも成立するについて研究を進めている．また，本研究を共同で進めている博士学生（後藤田）が本研究内容で日本数学会応用数学分科会研究奨励賞を受賞することになった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今年度は乱流モデルに関していくつかの重大な発見が続いた．(P1)において，一般化DeGrgorioモデルの研究が進み，この方程式がバーガーズ方程式やShellモデルといった従来から知られている乱流理論モデルにはない特徴，すなわちカスケード現象を起こすPDEモデルであること，ランダム力学系との強い関わりをもつことなどを備えた，第三の全く新しい理論乱流モデルになりうるものであることが判明したことである．(P2)において，α点渦系の極限として定義される点渦衝突解の結果は，保存系における時間の矢を生み出すメカニズムの一つを示唆しており，保存力学系における散逸現象と時間の矢を創出する重要な例であることがわかった．その数学的構造を今後詰めることによって，散逸的弱解がなぜ乱流場を記述する流れモデルになりうるかを明らかにするヒントとなることが強く期待される．昨年度新たな研究対象として加えたVortex Dipoleについては，成果という段階ではないものの点渦系の研究からの示唆をうけつつ現在も研究を継続中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の二つの重要な発見を軸に研究対象を一般化DeGregorio方程式と点渦系の二つに絞り込んでより深く散逸的弱解の数理科学的研究を推進する．(P1) 一般化DeGregorio方程式に関する論文がまもなく広く出版されるため，第三の新しい乱流モデルとして多くの乱流研究者や力学系理論の研究者との協働を進めて，より深い乱流の数学的理解を行う予定である．研究成果を積極的に世界に発信し，国外の研究者との協働研究に展開したいと巻が手いる．(P2)については，点渦衝突によるエンストロフィー散逸の正則化の手法に対する依存性やN点問題への拡張，シンプレクティック幾何学の観点からの記述を試みるなど数学的に多様な角度からの研究を推進する．Vortex Dipoleの研究については，本対象を先行研究している英国Sheffield大学の大木谷耕司教授が夏に長期来日するのに合わせて，共同研究などを通して研究成果へとつなげていきたいと考えている．
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| Causes of Carryover |
ICIAM2015やNaruto Workshopなどで招聘を行う予定の外国人研究者の招聘費用が，招聘者本人が支弁，あるいは他経費などとの共催によりそちらから負担されるなどの措置があり予定額を大幅に下回った．また，研究成果が順調に出ていることから，多くの海外セミナーや研究集会に招待講演に招かれた際，招聘旅費が他経費より支弁になったことも使用額との差が出た要因である．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度もひきつづき国際研究集会のオーガナイズに伴う外国人招聘の旅費，ならびにいくつかの国際学会での招待講演が予定されている．昨年度まで共催により旅費を支出してきた経費は今年度はないため，これらの旅費として本経費が主に利用される予定である．その結果として，支出は順調に行える計画である．また，経費に余裕が在る場合は，研究成果の積極的発表のため海外研究集会への参加のために本経費を利用する．
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Research Products
(12 results)
