Application of uniformity and hyper uniformity in sciences

2018 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 26310211
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: 松本 眞 広島大学, 理学研究科, 教授 (70231602)
• Project Period (FY): 2014-07-18 – 2020-03-31
• Keywords: 超一様性 / difference set / design / quasi-Monte Carlo

Outline of Annual Research Achievements

準モンテカルロ法の離散化について、有限群上の複素数値関数の平均をとることを考える。有限部分集合上の平均で近似するとする。すると、表現論的手法をもちいて、誤差をバウンドすることができる。このバウンドが達成される必要十分条件が「部分集合がdiffernce setであること」と同値になることを示した。このようにして、一見無関係な、準モンテカルロ誤差とdifference setの間に、関係があることを示した。さらに、有限群から、一般のアソシエーションスキームにおいて、同様な定理を示した。後者で考えたほうが、証明は道筋がわかりやすい。
有限群、より一般的に可換アソシエーションスキームに対し、pre difference setの概念を導入した。この成果は、広島大学D2学生梶浦大起氏、講師奥田孝幸氏との共同研究であり、論文は投稿中であるが、二名のレフェリーから肯定的内容の査読結果を得て、書き直し中である。
従来の超一様点集合は、特殊な有限群上にウェイトをもうけ、ウェイト付の評価基準を定義し、重みが小さいFourier成分を禁止する。今回提唱したのは、著名なキャラクター上ではどれも等しい大きさのFourier成分をもつデザインであり、多くの場合 difference setと一致することを示した。
全数探索により、pre difference setであるが difference setでない例が多数発見された。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

上記のpre difference setは、新しい概念であることが、二名のレフェリーにより確かめられた。更に、我々のGAPを用いた全数探索により、pre difference setであるが difference setでない例が、多数発見された。特に二面体群D_{16}には、difference setは存在しないが、pre difference setは存在することが示された。この新しい数学概念は、デザイン研究に新たな切り口を与えるものである。

Strategy for Future Research Activity

pre difference set についてより広範な研究を行う。

Causes of Carryover

理由：研究の進展にともない、原本博史愛媛大学准教授のレビューを受ける必要が生じたために、旅費を繰り越すこととした。
使用計画：２０１９年１１月以降、研究代表者が愛媛大学を訪問、研究打ち合わせを行うほか、必要資料を収集する。