2015 Fiscal Year Research-status Report
線形計画問題の大域的構造に基づくピボットアルゴリズムの開発
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26330002
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
森山 園子 日本大学, 文理学部, 教授 (20361537)
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2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 線形計画問題 / 多面体理論 / マトロイド |
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| Outline of Annual Research Achievements |
線形計画問題（LP）の解法の1つに，1947年にDantzigにより提案された単体法を始めとするピボットアルゴリズムがある。多項式時間を達成するピボットアルゴリズムの存在の解明はLPにおける重要な未解決問題である。ピボットアルゴリズムは，制約条件が記述する多面体の頂点に最適解が現れるという性質に基づき，目的関数値を改善する方向に多面体の頂点をたどって最適解を見つける手法である。従来のピボットアルゴリズムでは，次に進む頂点の選択の際に使用する情報は元の頂点に隣接する局所構造のみで，LPに内在する多面体構造という大域的構造を興梠してはいなかった。制約条件が記述する多面体上にピボットアルゴリズムの振る舞いを記述した有向グラフを「LPグラフ」という。本研究では，LPの大域的構造としてのLPグラフの重要性に着目し，この大域的構造に基づく多項式時間ピボットアルゴリズムの構築を目指している。
今年度も昨年度に引き続き，マトロイド理論を用いてLPグラフの列挙法を構築することを目指て，マトロイドの表現可能性（実現可能性）を調査した。昨年度はランク3を限定しても7以上の任意の要素数で向き付け可能なマトロイドの禁止マイナーの存在を示したが，今年度は向きづけ可能マトロイドと行列表現可能なマトロイドの和集合と積集合という異なる対象に焦点をあてたが，昨年度同様にランク3に限定しても禁止マイナーが無限個存在することを示した。更に，体の拡大による表現可能性の変化にも言及した。そして，特定の体上で表現可能なマトロイドにの列挙法の考案を目指して研究を開始した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度も昨年度に引き続き，マトロイド理論を用いてLPグラフの列挙法を構築することを目指て，マトロイドの表現可能性（実現可能性）を調査した。LPグラフの列挙は，特定の構造を持つ有向マトロイド（OM）の列挙法構築と類似した構造を持つOM集合の実現可能性判定法小袿の2つに分けられる。OM集合の数は多いため，本研究ではOMをまとめて記述するマトロイドを通じてOM集合を列挙することを目指している。そこで，今年度も昨年度に続き，LPグラフに直接つながるマトロイドの表現可能性について，数々の視点から研究を進めた。マトロイドの表現可能性の研究では世界で一定の評価を受けており，来年度に招待講演を2件依頼されている。更に，特定の体上で表現可能なマトロイドにの列挙法の考案を目指して研究を開始した。
LPグラフの列挙には至っていないが，LPグラフ列挙にあたり，OMをまとめて記述するマトロイドの性質を探求することは必要不可欠であることから，おおむね順調に進行しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度にあたる来年度は，今年度までの研究成果を元にマトロイドを通じたOMを列挙し，最終的にLPグラフを得るという一連の列挙法を確立することを目指す。LPグラフを与えるマトロイドは表現可能であることから，今年度までマトロイドの表現可能性に重点を置いて研究してきた。直接的な答えは得られていないものの，本問題はマトロイドの分野でも難しい問題とされており，国際会議の招待講演を依頼されるなど現時点の成果で一定の評価を受けている。また，同時に，LPの大域的構造に基づくピボットアルゴリズムの開発に向けて，LP以外のピボットアルゴリズムの研究も含めて進めていきたい。
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| Causes of Carryover |
来年度に当初は予定していなかった国際会議での招待講演が2件予定されたため，来年度に旅費を大幅に確保する必要が生じたため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
来年度予定している国内出張および海外出張での執行を予定している。
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