2015 Fiscal Year Research-status Report
グラフ最適化問題に対する高速アルゴリズムの理論設計と実装開発
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26330012
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
永持 仁 京都大学, 情報学研究科, 教授 (70202231)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
趙 亮 京都大学, 総合生存学館, 准教授 (90344902)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / アルゴリズム / 離散最適化 / グラフ描画 / スケジューリング |
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| Outline of Annual Research Achievements |
巡回セールスマン問題や独立点集合問題は，グラフに関するNP-困難な最適化問題の中で古典的な問題として知られており，これらを厳密に解くためには，動的計画法に基づく指数領域アルゴリズムあるいは分枝限定法に基づく多項式領域アルゴリズムが用いられる．本研究ではグラフの最大次数が３，４，５，６に制限されたｎ節点グラフ上の巡回セールスマン問題，グラフの最大次数が５であるｎ節点グラフ上の独立点集合問題に対して，それぞれ 計算量の上界が O(1.2312のn乗), O(1.692のn乗), O(2.4723のn乗), O(3.0335のn乗)，O(1.1736のn乗)である分枝限定法アルゴリズムを設計した．これらは多項式領域アルゴリズムの計算量としてはいずれも現在最良のものである．
グラフ上の忌避型施設配置ゲーム問題に対する戦略耐性メカニズムの数学的な基本性質をいくつか明らかにした．木状構造の距離空間での施設の配置候補地の集合が提携戦略耐性メカニズムを持つための必要十分条件を明らかにした．また，直線構造の距離空間におけるメカニズムの戦略耐性の定義の緩和とメカニズムの達成できる全体利得との間に成り立つトレードオフの関係を導出した．
この他，与えられたグラフを平面上に，すべての節点が外面に現れ，かつ各枝あたり２個までしか枝交差を持たないように埋め込めることができるかを判定する線形時間のアルゴリズムを設計した．この結果は，従来，グラフの平面への交差無し埋め込み，各枝高々１回の交差を許す1-平面埋め込みの研究結果をさらに一歩前進させるものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
巡回セールスマン問題や独立点集合問題は，グラフに関するNP-困難な最適化問題の中で古典的な問題として知られている．これらを厳密に解くアルゴリズムの計算の理論的上界の改善を行った．これらは，本研究の効率の良いアルゴリズムを設計するという目的を果たしている．
グラフ描画問題における2-平面グラフ埋め込み問題に関して，外平面の制約条件下での線形時間アルゴリズムの設計を行った．これは離散構造の研究における成果に当たる．
この他，グラフ上の忌避型施設配置ゲーム問題に対する戦略耐性メカニズムに関して数学的性質をいくつか明らかにした．複数のプレーヤーから報告される位置情報に基づき候補地を決定する過程（メカニズム）を設計する問題では，メカニズムは事前にプレーヤーに周知されるとし，プレーヤーが自分の位置報告を恣意的に変更しても決定される候補地がそのプレイヤーとって有利に変化しない，戦略耐性をもつメカニズムが必要である．この研究は，単一目的関数をもつ最適化問題を解く従来型のアルゴリズムに対して，入力情報の恣意的な変化にも耐性のある安定なアルゴリズムという高度な概念を対象にしており，取引問題など現実問題への応用上重要である．
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| Strategy for Future Research Activity |
２７年度はおおむね順調に進展があったので，今後も２７年度と同じ推進方策に沿って研究を遂行していく．すなわち，代表的なグラフ最適化問題に対するアルゴリズムの改良に向けた新しい手法の開発を試みること，既存の結果を統一的に扱う広い問題クラスに対する一般的なアルゴリズムの枠組みの導出を行うことである．また，アルゴリズムの理論的性能と実用的性能の違いについても提案アルゴリズムを計算機上で実装していく．
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| Causes of Carryover |
残額が1176円と小額だったため、次年度使用することにした。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
旅費の一部に充てる予定である。
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