2015 Fiscal Year Research-status Report
途中退去のある複数サーバ待ち行列の待ち行列長分布評価法
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26350416
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| Research Institution | Gunma University |
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Principal Investigator |
河西 憲一 群馬大学, 大学院理工学府, 准教授 (50334131)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 待ち行列理論 / 応用確率過程論 / モデル化 / 性能評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，複数のサーバに対して単一の列をなす先着順待ち行列システムにおいて，待ち客がサービスを受ける前に途中退去する場合を解析することが目的である．特に，系内客数の確率分布を導出することが目的である．客の到着過程がマルコフ型到着過程に従い，客のサービス時間が指数分布に従い，さらに客が途中退去するまでの時間が一定である場合を解析した．この待ち行列システムに対しては，客の仮待ち時間の確率密度関数について既にその解が得られている．先着順サービス規律を前提として，系内客数の確率分布を評価するためには，最後にサービスを開始した客の経過系内滞在時間の確率密度関数が必要である．本研究によって，同待ち行列システムにおける仮待ち時間の確率密度関数と経過系内滞在時間の確率密度関数との関係が明らかになった．なお，サービス時間が指数分布ではなく独立同一分布に，さらに途中退去するまでの時間も独立同一分布に従うとしても，同じ関係が成立することも明らかにした．同関係は，途中退去が伴わない場合について，既に知られていた関係であるが，本研究により，途中退去が伴う場合に拡張しても成立することが証明できた．
既知である仮待ち時間の確率密度関数と，経過系内滞在時間の確率密度関数について成立する関係を用いて，待ち客数の確率分布が導出可能であることを示した．すなわち，経過系内滞在時間を用いて待ち客数の確率分布の母関数を導出した．同母関数を行列の指数関数で表現することにより，いわゆる一様化の手法を適用すると数値的に評価可能であることも示した．
客の到着過程がマルコフ型到着過程である場合，仮待ち時間の確率密度関数は，２つの行列指数関数の線形結合によって表現できることが知られていた．本研究では到着間隔が相型分布に限定すると，仮待ち時間の確率密度関数が１つの行列指数関数で表現可能，すなわち行列指数関数形をもつことも明らかにした．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的は複数サーバであって単一の列をなす待ち行列システムにおいて，客が途中退去する場合のモデルを解析することにある．研究開始の初年度では，客がポアソン過程に従って到着し，相型分布に従うサービス時間をもち，一定時間経過後にサービスが開始されなければ途中退去する場合を扱う計画であった．研究計画の２年目においては，客がマルコフ型到着過程に従い，サービス時間が指数分布に従い，途中退去するまでの時間が一定である場合を扱う計画であった．初年度および２年目において得られた成果は，これら２つの待ち行列システムにおける系内客数分布の導出と，数値計算アルゴリズムの構築であり，所期の目的は十分達成したと判断できる．
初年度において遭遇した新たな課題，すなわち経過系内滞在時間の確率密度関数が，２つ行列指数関数の線形結合で表現されることに起因する数値計算上の不安定性についても，特殊な場合についてはその不安定性が伴わないことを理論的に示した．すなわち，サービス時間は指数分布であることを前提に，到着間隔を相型分布に限定すると，仮待ち時間の確率密度関数が，よって経過系内滞在時間の確率密度関数が，行列指数関数形で表現できることを明らかにした．この結果は，研究計画の３年目で予定した課題に対する成果ともいえる．
以上の理由により，当初の計画以上に進展していると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでは系内客数の確率分布に主眼をおいて検討してきた．今後は，途中退去が伴う待ち行列システムにおける，客の損失率（客がサービスを受けずに途中退去する割合）を詳細に解析する．特に，途中退去するまでの時間が極めて大きくなる場合である漸近的な損失率の振る舞いについて調べる．さらに，客がポアソン過程にしたがって到着し，客のサービス時間が相型分布に従う場合について提案されていた損失率の近似式を，本研究で得られた厳密な結果と比較し，その差分を評価する．
本研究計画で扱う待ち行列システムは，途中退去するまでの時間が客によらず同一であることを前提としている．しかしながら，実際の待ち行列システムでは必ずしも同一であるとはいえない．よって，今後はこの課題を検討する．具体的には，途中退去するまでの時間に対して客のクラスを定めることで，途中退去までの時間が客ごとに同一でない場合に拡張することを検討する．
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| Causes of Carryover |
国際会議等の国外での論文発表の機会が得られず，国外への旅費と国際会議等の参加費に充当を予定していた分が残ったため，差額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２７年度の残額は，平成２８年度の旅費に加算する．国内旅費として，年８回東京工業大学で開催される待ち行列研究部会に出席するための費用として支出し，研究資料の収集と研究打合せのために使用する．さらに国内旅費として，平成２９年１月に開催予定の待ち行列シンポジウム，および日本オペレーションズ・リサーチ学会の研究発表会（年２回）に参加するために使用する．平成２８年度に請求するその他の予算は研究を進める上で必要となる図書の購入と，プリンターのトナー代に充当する．
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Research Products
(2 results)
