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26400013
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
井原 健太郎 大阪大学, インターナショナルカレッジ, 准教授 (00467523)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | multiple L function / multiple zeta values / elliptic modular form |
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| Outline of Annual Research Achievements |
古典的な１変数保型 L-関数の多重化「多重保型 L-関数」を導入し, その正の整数点における特殊値を「周期」と称し, それらが有理数体上生成する代数「周期代数」の構造を解明することが本研究の主要なテーマである. 一昨年度(申請研究の初年度)では, 「重さが2」でレベルNが比較的に小さい楕円保型形式に付随する多重 L-関数を考え, その周期の近似値をL-関数の多重積分表示と Fricke 双対性の性質を用いて, 十分な高精度で計算機で計算し, 周期間の線形関係式, 代数関係式を具体的に調査した. それに基づきレベルNの周期代数の各斉次次数の空間の次元と, 代数生成元の個数についての予想式とその部分的な証明を得ることができた. 昨年度は, 引き続き「重さが2, レベルN」で, 対応するカスプ形式の空間の次元が比較的小さい場合に, 多重周期のデータを計算機で計算し, 一昨年度の予想式がカスプ形式の空間の次元の変化に対し, どう修正, 拡張されるべきかを見つけ, 一般化した形で予想式として定式化し, その部分的な証明をつけた. それに加えて「重さが12でレベル1」のΔ関数に付随する多重保型 L-関数の場合も周期計算を計算機で実行し, （この計算は以前試みたが, プログラムの煩雑さや, いろいろなデータの参照をマニュアルで行っていたため, 信頼性が低い数値実験と思われたため, 今回プラグラムと計算手続きを見直し, 再計算を実行した. ）Y. I. ManinがSL_2(Z)(レベル１)の場合に示した, 多重周期が満たす幾何由来の関係式が成立することを, 数値的に再検証した. この「重さが12でレベル1」の場合についてはまだ, 各斉次次数の空間の次元に関する予想式は見つけられていない.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
現在までのところ概ね計画調書の１年目, ２年目の計画に従って, 研究を進められている. まず計算機関連機器や利用ソフトウェアを購入したり取り揃えることで, 計算環境を研究計画に沿う形で整え, 周期計算の環境を整え, 重さが２のカスプ形式の場合の, 周期間の関係式の調査を継続して実施している. 計算実験で発見した観察結果と, 想定していなかった興味深い新しい現象を, 予想として定式化し, 昨年度は, カスプ形式の空間の次元と周期代数の大きさの関連を示す予想式を部分的に証明することができた. 本研究に関連する, 他の研究者による講演発表や関連する研究集会へ参加し, 最新の研究内容や情報の収集, 勉強すべき理論の習得や新たな問題の模索などに役立てた. また研究の進展状況を, 専門家の集まる集会で講演する機会を得て, 本研究のみならずこれまでの研究結果を紹介することができた. また, 直接的に関連する研究を行っている研究者を訪ね, 現在研究中の内容についての議論や, 自分の研究状況の説明やお互いの研究の問題点や関連性, および今後の展開について議論を行なった. また関連する研究を行っている研究者を集め, 最近のF. Brownのプレプリントで示された, カスプ形式の空間から多重ゼータ値の代数生成元の空間へのある対応の理解を深めるための研究討論会を複数回催した. これは, 多重保形L関数の周期代数との関連性を模索するためである. 保型形式の重さが２の場合のこれまでの周期計算の結果について, 内容の論文掲載を計画をしているところである. 掲載にあたり計算結果を補充し, さらにそれに理論的な考察, 可能な限りの証明を付けて, 区切りのよい段階での掲載を予定している.
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは, 昨年度得られたカスプ形式の空間の次元と周期代数の大きさの関連を示す予想式の(一部分)を論文, にまとめ投稿したい. 加えて, 今年度が申請研究の最終年度であるので, 国内外の研究者に向けて, 研究集会の場や発表講演の場を通して, これまで以上に研究成果をアピールしたいと考えている. また最終年度の研究方針として, 周期間の全関係のなかで, Fricke主対合とシャッフル積からくる周期関係式が主要な位置を占めるが, 特別なFricke対合が存在するレベルがあり, その場合に対応する周期関係式がどのようなものか, そもそも有無を含めて未解決であるので, それを調べる必要があると感じている. このことは, レベルの違いにより周期代数の構造が著しく変化する現象を説明してくれるかもしれない. またこれまで, 保型形式の重さとレベルが比較的小さい場合の周期の空間の次元および, 周期代数の代数生成元の個数についての研究を行っているが, 今年度は, これまでの視点から一歩踏み込み, 周期そのもの数論性について着目し, その性質(たとえば２つの周期の比やその代数性あるいは超越性など)についての研究を始動したい. このことは, 申請書の計画書にて予定されていたことである. そのために, 周期代数へのHecke作用を詳しく調べる計画である. 同じ重さとレベルを持つ 2 つの Hecke 固有関数が互いの2次ツイストで移りあう場合, それぞれの L 関数の臨界値の比が代数的数であることが古典的な結果として知られている. 昨年までの計算機による数値実験でもこの事実は再確認できている. この例を踏まえて, まずは Hecke 固有関数と周期代数の関係を明確にし, 他のレベルでの例を探し, 周期代数への Hecke 作用を詳しく観察することを考えている.
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| Causes of Carryover |
平成２７年度内に於いて, 本研究に関連する研究者を招いての講演会, 研究討論会を計画し, そのための旅費と謝金として当該予算を確保していた. 研究討論会を開催したが, 参加者自身の研究費で旅費を支出したため, 当該予算の執行ができなかった.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
前年度に開催した研究討論会に有意義な研究進展があったので, 平成２８年度内に再度計画し, そのための旅費と謝金として当該予算を執行する予定である.
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