2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400015
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
青木 美穂 島根大学, 総合理工学研究科(研究院), 准教授 (10381451)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 代数的K群 / 岩澤理論 / Coates-Sinnott予想 / 単数群 / イデアル類群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有理数体上のアーベル拡大体の整数環の０次のK群のトーション部分(イデアル類群）のガロア群の構造を込めた構造定理は, V. Kolyvagin や K. Rubin によって与えられている. 以前までの研究で, 構造定理に現れるガロア群環の元のexplicit表示が円単数, ガウス和のEuler系から得られていた. 今年度は, これらの結果を一般の偶数次K群に拡張し, 偶数次K群の高次annihilatorを計算することで構造定理を得た. 結果は現在論文にまとめている.
また, 愛知教育大学の岸康弘氏との共同研究により, ある４次多項式のファミリーが与える拡大体の基本単数に関する結果を得ることができた. この結果は専門誌に投稿し掲載された. さらにこの４次多項式のファミリーから０次のK群のトーション部分の位数が５で割れる新しい虚２次体のペアの無限族を構成し, 論文にまとめ投稿した. この結果から一般の偶数次K群の位数が5で割れる新しい虚２次体のペアの無限族も構成することができた. ここで与えられた虚二次体のペアの判別式は, Fibonacci数を用いて具体的に与えられる. 証明には岸康弘氏, 今岡雅文氏によって与えられていた２面体群をガロア群にもつ拡大を与える多項式のファミリーと数列の素数における可除性が用いられる.
この結果を一般の素数に拡張するためには, 一般 Lucas sequence の素数における可除性を調べる必要があり, これらの研究を酒井悠帆氏と行い, ２本の論文にまとめ雑誌に投稿した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
有理数体上アーベル拡大体の整数環の偶数次K群のガロア群の作用を込めた構造定理をexplicitに与えられる群環の元を用いて与えることができた. この構造定理には無限個の群環の元が用いられるが, これを有限個の元に改良することは出来ていない. 証明中のEuler系の議論で Chebotarev の密度定理を用いて素イデアルを選ぶ箇所があるが, この素イデアルが存在する範囲が, J.C.Lagarias, A.M.Odlyzko, H.L.Montgomery, A.Zaman らによって代数体の判別式などを用いて, 解析的手法により与えられている. これらの結果を適用したいと考えている.
また, 岸康弘氏との共同研究において, K群のp=5における可除性に関する新しい結果を得ることができた. この結果の一般の素数に対する一般化を現在研究しているが, そのために一般 Lucas sequence の素数における可除性を調べる必要があり, これに関しては, 酒井悠帆氏との共同研究でだいぶ進展した.
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| Strategy for Future Research Activity |
現在得られている, 代数体の整数環のK群の位数の可除性に関する結果を一般の素数に拡張する. 具体的には, 与えられた任意の素数pに対し, K群の位数がpで割れる虚2次体のペアの無限族を具体的に構成する. その際に必要となる一般 Lucas sequence の素数における可除性について情報を得るため, 詳しい研究者から情報を得る予定である.
また, 今年度得られた有理数体上アーベル拡大体の整数環の偶数次K群の構造定理を最近の A.Zaman の Chebotarev の密度定理に関する結果を用いて改良する.
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