| Outline of Annual Research Achievements |
アーベル数体の偶数次K群の位数の素数pに関する可除性は,拡大次数とpの分解に関するいくつかの条件を仮定すると, 類数の可除性を考えることに等しい.
今年度は, 昨年度後半から着手している固定された素数pで任意の偶数次K群の位数を割るような無限族の構成, およびその結果をもとに偶数次K群のFittingイデアルの実例構成を行い, 組織的な例を構成した. 特に, 昨年度愛知教育大学の岸康弘氏との共同研究で得られていた任意の偶数次K群の位数がp=5で割れる虚二次体のペアの無限族構成をもとに, p≡5 (mod 8)をみたす素数pに対し, 任意の偶数次K群の位数がpで割れる(p-1)/2次虚アーベル数体のペアの無限族の構成をした.構成に用いたのは, 代数的整数論の手法と, ガウス和の計算, ある種の線形回帰数列を用いた組み合わせ論的手法である. 得られた無限族は, 非常に綺麗な形をしている.
また, 使用した組合せ論的手法に関し, 学生の酒井悠帆氏との研究で多くの情報を得た.特にLaxtonによって定義された2次線形回帰数列が成す乗法群の構造との関係について結果を得, 専門誌に投稿し受理された. このLaxton群は, R. R. Laxtonが論文「On groups of linear recurrences. I, Duke Math. J. 36, (1969)」で定義している群であり, この論文ではLaxton群の商群に関する考察がされている.今回の結果では, この商群の代表類を求めることができた.
さらに中国武漢大学の小松尚夫氏との共同研究では, Hypergeometric Bernoulli numbers の行列式表示を得た. Hypergeometric Berunoulli numbers は最近, H. D. Nguyen によって定義された数列であり, ある超幾何関数から定義される.今回得られた行列式表示は, J. W. L. Glaisherによって得られていた, 従来の Bernoulli numbers の行列式表示の一般化である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
具体的な例の構成について進展したと考えている. 岸康弘氏との共同研究で得られた類数がpで割れる(p-1)/2次虚アーベル数体のペアの無限族のp=5の場合の結果は今年度専門誌から出版された. また, 一般のpに関する結果については, 現在まとめている. これらの結果から得られる偶数次K群の位数の素数による可除性, およびFitting idealに関する結果についても現在まとめている.
さらに, 学生の酒井悠帆氏との共同研究で得られたLaxton群に関する結果は今年, 専門誌から出版される予定であり,小松尚夫氏との共同研究で得られたHypergeometric Berunoulli numbers に関する結果は, 論文にまとめ, 現在投稿中である.
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度, 例を構成するために用いた組合せ論的手法をさらに発展させることにより, K群の位数の可除性やFittingイデアルだけでなく, pランクが大きい無限族の構成や構造に関する結果を得られると考えている.また, 偶数次K群の具体例構成には, 代数体のファミリーを考えることが重要であると考える. 今回用いた組合せ論的手法に加え, 楕円曲線や楕円曲面を用いることも考えている.
また, 線形回帰数列から定義されるLaxton群の構造に関しては, 代数的整数論をもとに,群スキームで解釈する予定であり, これは群スキームの専門家と共同で行う予定である.
さらに, ベルヌーイ数が K群の位数に関係することから, 今年度新たに研究を始めた Hypergeometric Berunoulli numbersに関する研究から, K群の構造に関する情報を得ることができる考えている.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究発表, および研究打ち合わせのための旅費に半分以上を使用する. また, 残りは専門書籍, 文具の購入, 専門的知識の提供に関する謝金, および論文の投稿料に使用する.
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