2014 Fiscal Year Research-status Report
レゾルベント型跡公式と関連する保型形式とゼータ関数の研究
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26400017
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
権 寧魯 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (30302508)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | セルバーグ型ゼータ関数 / セルバーグ跡公式 / 純三次体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数体をひとつ固定し、その整数環の元を成分とする２次の特殊線形群Γを考える。代数体の無限素点の個数に応じて、この群Γは上半平面と３次元上半空間いくつかの直積に不連続に作用する。代数体から決まるこの不連続群Γに対する（適切な）セルバーグ型ゼータ関数を定義しその解析的性質や数論的応用を研究することは、保型形式の整数論にとって重要な問題と考えられが、不連続群が作用する対称空間の階数が１であるような代数体である有理数体や虚二次体以外ではあまり研究されていなかった。最近の研究により、代数体が実二次体の場合には(Y. Gon, J, Number Theory 2015)、セルバーグ型ゼータ関数の解析接続や数論的な応用が分かってきたので、今年度は純三次体の場合の不連続群Γに対するセルバーグ型関数への応用を念頭に、非自明なウェイトを持つセルバーグ跡公式と跡公式の“重さに関する差分”を研究した。得られた跡公式の差分を用いて、一変数のセルバーグ型ゼータ関数を定義し、このゼータ関数の全平面への有理型解析接続、零点と極の位置と位数の決定、関数等式を証明した。関数等式には、通常のガンマ関数、２重ガンマ関数に加えて、アイゼンスタイン級数の定数項からの寄与である“純三次体の基本単数のゼータ関数”が現れる。既に扱った実二次体の時と同様に、素測地線型定理や、ラプラシアンの固有値に対するワイル型の漸近公式も証明される。ルエル型ゼータ関数の解析接続や関数等式も同様に証明されると思われるが、跡公式をＭタイプ付きに拡張する必要があり、これは次年度以降に行う。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
モジュラー群に対するセルバーグゼータ関数を一般の代数体の整数環上のPSL(2)に拡張することが研究目的のひとつであったが、実二次体に加えて、純三次体の場合にも同様な手法でセルバーグ型ゼータ関数が定義できることが分かったので、研究計画はおおむね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
GL(3)とGL(4)の跡公式のＫタイプに関する差分の研究をする。Ｋタイプを固定した跡公式の両辺をいくつか比較してそれらのＫタイプに関する差分が出来るだけ簡単になる組み合わせを考察する。Ｋタイプの組の候補としては、Ｋタイプをシフトする１階の微分作用素で移りあうものを想定している。結果として、ある放物型部分群に対する特定のＭタイプから誘導される主系列表現のみがスペクトルサイドに現れる跡公式の“細分化”が得られると予想している。上記方法で、フルモジュラーな場合にいくつかのＫタイプの組の候補に対して、散乱行列式と放物共役類の寄与の差分を計算したい。得られた跡公式の差分を用いて、セルバーグ型関数の定義を行いその解析的性質を調べたい。可能であれば，Deitmar と HoffmannのGL(3)の結果の別証明や精密化を研究する。
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Research Products
(2 results)
