2016 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on symmetries for automorphic forms and Borcherds products
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26400027
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
村瀬 篤 京都産業大学, 理学部, 教授 (40157772)
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2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 保型形式 / 対称性 / Borcherds積 / アフィンリー環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２次ジーゲルモジュラー群の合同部分群に関する正則ジーゲル保型形式について、無限積表示を持つための条件を考察した。そのために、様々なレベルを持つ保型形式のファミリーを考える。それらが、レベル付きのヤコビ形式のフーリエ係数から定まる無限積のファミリーとなるとき、「一般化されたBorcherds積」という。重要な例として、レベル２の正則ジーゲル保型形式のうち、青木-伊吹山の論文で無限積であることがわかったもの以外のいくつかのものが、一般化されたBorcherds積であることを示した。一般化されたBorcherds積の特徴付けを考察するために、保型形式のファミリーが満たすある対称性（一般化された積対称性）を導入した。本研究の成果として、一般化されたBorcherds積は、一般化された積対称性を満たすことを示した。この結果の応用として、ある保型形式のファミリーが一般化されたBorcherds積にならないことを判定できる。
また、ヤコビ形式についても、同様の問題を考察し、無限積表示を持つ条件と一般化された積対称性の関連について考察した。応用として、捻られたアフィンリー環の分母公式によって定義されるヤコビ形式が、一般化されたBorcherds積であり、従って一般化された積対称性を持つことを示した。
数理物理学等で、正則２次ジーゲル保型形式のうち、加法的持ち上げと乗法的持ち上げの双方を兼ねているものがしばしば現れるが、そのようなものは、レベル１の場合は井草モジュラー形式に限ることを証明した。一般のレベルの場合に、同様の問題を考察することは興味深い問題であり、今後の重要な課題である。
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