2014 Fiscal Year Research-status Report
射影多様体の埋め込みと定義方程式およびm-射影正規性
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26400041
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
野間 淳 横浜国立大学, 環境情報研究科(研究院), 教授 (90262401)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 射影多様体 / 斉次イデアル / 定義方程式 / 射影埋込み / m正規性 / カステルヌーボ-マンフォード正則数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，次数d,次元n,余次元eの射影多様体Xに対して「Xを含む次数(d-e+1)以下の超曲面の共通部分はXと一致する」「(d-e)次以上の超曲面が作る線形束はX上で完備である」を示すことを目標に，この周辺にある代数幾何学や射影幾何学の問題や新たな知見得ることを目指している．射影多様体Xの非双有理中心点とは，その点からの線形射影がXとその像との間の双有理写像を引き起こさない中心点のことで，B(X), C(X)をそれぞれXの外，Xの内の非双有理中心点の集合を表す．これまでの研究により，射影多様体Xを含む次数(d-e+1)以下の超曲面の共通部分は，B(X)，C(X)とXの特異点集合を除き，Xと一致することが示されているので，B(X), C(X)を調べることが課題となっている．
今年度は，これまで行ってきた研究の再検討，さらに残された課題の展開を検討した．まず，B(X)とC(X)を持つ射影多様体の特徴付けとその応用についての証明の細部を検討し，再構成を行った．第２に，C(X)が１次元の直線からなる非特異多様体Xのカステルヌーボマンフォード正則数の上限について残っていた部分の再検討を行い，結果をまとめた．第３に，C(X)で非特異射影多様体の２重点因子が基点を持つかどうかの研究を継続し，C(X)が１点でありその点からの線形射影像が有理スクロールとなる場合に,C(X)は基点とならないことを，これまで残されていた曲面の場合で型が異なる場合も含めて，全ての場合に証明した．第４に，これまでの研究で用いたEagon-Northcott複体を使い，てN+1変数の複素数係数の同次一次式を成分とするl×m行列(l≧m)について，N次元複素射影空間の各点で全射（full-rank）になっているとき，その行列のm次小行列式全体がm次式全体を複素ベクトルを生成することを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べたように，これまで行ってきた研究課題で残された問題を幾つか解決することができた．さらに，これらを通して新たな課題が見つかるなどの研究の糸口を幾つか見つけているため．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでに行ってきた研究課題のうち，B(X)に１次元以上の既約成分を２つ以上持つ射影多様体の特徴付けの証明の再検討をまず行う．さらに，２重点因子の線形束が基点を持つかどうかの研究を，特異点を持つ射影多様体の場合に行っていく．他方で，スクロールのm-正規性やカステルヌーボ-マンフォード正則性について検討する．
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| Causes of Carryover |
昨年度，予定していた研究集会を４名で共同開催した．その際の講演者の旅費を，他の共催者も負担したため，当初予定したよりも少ない額で済んだためである．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度の行う予定の研究集会で使用する予定である．
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