2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400060
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
塩谷 隆 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | スティーフェル多様体 / 旗多様体 / 高次元極限 / 測度距離空間 / ガウス空間 / ピラミッド / 無限次元空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はスティーフェル多様体と旗多様体の極限について考察し，論文を執筆した（首都大の高津氏と共同）．
以前の研究において，ユークリッド空間内の半径が次元の平方根の球面の次元が発散するときの極限空間がガウス空間（実数直線の無限直積空間にl_2距離関数と無限次元ガウス測度を備えた測度距離空間）へ収束すること，および射影空間がガウス空間の商空間へ収束することを証明したが，その手法を拡張・一般化することにより，スティーフェル多様体の次元が発散するときガウス空間へ収束することを証明した．ここで，スティーフェル多様体はnxk(k≦n)の直交行列全体だが，その距離関数はフロベニウス・ノルムのnの平方根倍とし，測度はハル確率測度とする．kはn以下の自然数で，nに応じて動いてもよいが，nのあるα乗(0<α<1/3)より小さいと仮定する．さらに旗多様体がスティーフェル多様体の商空間として得られることを利用して，旗多様体がガウス空間の商空間へ収束することを証明した．旗多様体は有限自然数列k(1),k(2),...,k(l),nによって決まるが，(n, k=k(1)+...+k(l))-型のスティーフェル多様体のユニタリ群U(k(1)),...,U(k(l))の直和による商空間として実現される．このとき，k(1),...,k(l)は固定して，nが発散したときの旗多様体の極限がガウス空間のU(k(1)),...,U(k(l))の直和による商空間となっていることを証明した．旗多様体はグラスマン多様体の一般化となっていることをコメントしておく．さらに射影空間の一般化である射影スティーフェル多様体の極限も決定した．これらの結果の応用として，スティーフェル多様体と旗多様体のオブザーバブル直径の漸近的な評価を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
スティーフェル多様体の極限空間の研究は予定通り進んだ．当初は想定していなかった成果として，旗多様体の極限空間も決定できた．これは期待以上の成果である．
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| Strategy for Future Research Activity |
グロモフが定義した測度距離空間全体の空間のコンパクト化はピラミッドにより構成される．ピラミッドが実際の測度距離空間で実現可能かどうかを今後考察したい．ピラミッド内の単調増加な測度距離空間の無限可算列をとったとき，その射影極限として，測度距離空間が得られる．ここでの問題はその測度距離空間がその無限加算列によってしまう可能性である．最も望ましい目標としては，それが列の取り方によらないことを示すことであるが，現状では打開策が見つからない．この点をパリ第6大学のNicola Gigli氏に相談したところ，コンパクト化の定義そのものを替えたらどうかとのアイディアを提案された．2人で共同研究を始めたところであるが，現在のところ前途多難に思える．この部分がうまくいかなくとも，ピラミッドに付随する測度距離空間の曲率次元条件や熱流を調べる事など幾つか研究の方法性はある．曲率次元条件CD(K,∞)の最大のKの安定性は興味深い問題であり，一般論の構築と共に具体例の考察も重要な問題であろう．
別の研究として，スティーフェル多様体以外の多様体や離散的な測度距離空間の列の極限空間を決定する問題がある．ハミング・キューブや直交群に興味があるが，少し考察した限りにおいては難問に思える．色々な離散群やグラフの系列があるので，証明のとっかかりのあるものを見つけることは有益だと考えている．
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| Causes of Carryover |
これは誤差の範囲内である．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
旅費に使用予定．
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