2016 Fiscal Year Research-status Report
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26400060
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 測度距離空間 / 測度の集中現象 / リーマン多様体 / オブザーバブル直径 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
体積が有限で断面曲率が下に有界な負曲率リーマン多様体のエンドに，どのような多様体が現れるかについて考察した（藤原氏と共同）．Ontaneda の結果を用いることで，ある種のグラフ多様体の族がエンドとして現れることを証明した．これについて，さらに事実関係を確認した上で，証明の議論や記述などをもっと整理し論文を執筆する予定である．
もう一つの研究として，等周不等式と1-リップシッツ関数の関係を考察中である（院生の中島氏と共同）．リーマン多様体またはより一般に測度距離空間に対して，1より小さい正の実数に対してそれを測度（体積）にもつような領域の境界の測度（面積）の最大下限を対応させる関数をisoperimetric profileと呼ぶ．今回の研究で，isoperimetric profileの比較不等式と，1-リップシッツ関数の分布のリップシッツ順序に関する大小関係が同値であるとの予想を立てた．これは実際，ある程度条件を仮定すると正しいことも確認した．現在，どこまで一般的に成り立つかを考察している．もしこれが正しいと仮定すると，その応用として以下の結果が得られる．リーマン多様体上の1-リップシッツ関数の分散の最大下限をオブザーバブル分散と呼ぶことにする．このとき，2以上の整数nに対してリッチ曲率がn-1以上のn次元閉リーマン多様体のオブザーバブル分散はn次元単位球面のオブザーバブル分散以上であり，等号成立条件はその閉リーマン多様体が単位球面に等長同型となることである．これと類似の剛性定理が他の場合にも成り立つと思われ，今後の検討課題である．
別の研究として，等周定数とオブザーバブル直径の関係式を得た（院生の東氏と共同）．これについて，東氏が修士論文にまとめた．さらに考察して投稿論文としてまとめたい．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
論文の執筆までは至らなかったが，そのための重要なアイディアを幾つか得たので，近い将来に2，3本の論文として執筆可能な結果を出せるとの見込みを得た．
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| Strategy for Future Research Activity |
負曲率リーマン多様体のエンドに関する研究は，藤原氏と協力して Ontaneda の論文をより詳しく解析し，事実関係を確かめる．
等周不等式と1-リップシッツ関数の関係の研究については，中島氏の修士論文で行った計算が有効かどうかを確かめ，厳密かつ一般的な証明を目指す．さらに Milman や Bobkov による等周不等式の研究を考察し，我々の研究のさらなる発展を模索する．また国内外で発表して今後の研究の展開に役立つ情報を収集する．
新しい研究として，ピラミッドに対して曲率次元条件を定義したい．ここで，ピラミッドとはGromovによる測度距離空間全体の空間のコンパクト化の元であり，曲率次元条件とはリッチ曲率の下限条件の一般化である．この問題については，Gigli を始めとして数人の一流研究者も興味をもっており，共同で考察を進めている．
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| Causes of Carryover |
16,505円ということで誤差の範囲内である．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度に旅費として使用する予定．
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