2016 Fiscal Year Annual Research Report
ADHM-construction of vector bundles and harmonic maps
| Project/Area Number |
26400074
|
|---|
| Research Institution | Meiji University |
|---|
Principal Investigator |
長友 康行 明治大学, 理工学部, 専任教授 (10266075)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | ベクトル束 / ゲージ理論 / 調和写像 / 正則写像 / モジュライ空間 / 表現論 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、まず複素射影直線から複素ベクトル空間内の2次元部分空間からなる複素グラスマン多様体への同変正則写像の分類問題を研究した。この問題は、同変性からある条件を満たす群の軌道の分類に帰着されるので、この観点からの先行研究がいくつか存在する。しかし次元が高くなると組み合わせの問題が複雑になり、分類は完成されていなかった。そこで、本研究で進展した理論を用いるために、ベクトル束に注目し、複素射影直線上の階数2のベクトル束の不変接続の分類に問題を帰着させることに成功した。この不変接続の分類では層の理論が有効に使われる。その結果、不変接続のゲージ同値類は0以上の実数全体と同一視できることが証明された。この中で、正則写像によって誘導される不変接続を決定することが次の課題となった。このとき、正則写像の場合には研究代表者の定義した平均曲率作用素が、正則ベクトル束の平均曲率作用素と一致し、したがって、曲率を計算することによって求められることがわかる。すると平均曲率作用素が非正の対称作用素であることから、写像によって誘導される不変接続に対する必要条件が得られる。これが十分条件であることを示すことに成功した。そのモジュライ空間はある層係数コホモロジー群のトーラス作用による商空間とみなせるので、L2内積により自然なトポロジーが導入される。そこで、モジュライ空間のコンパクト化を考察すると、「直和型」と「退化型」の写像が得られることも理解できた。
次に複素射影空間内の複素超曲面の内、複素射影空間のキリングベクトル場の制限がまたその超曲面のキリングベクトル場になるような超曲面を求める問題を考察した。全測地的超曲面がこの性質を持つことは明らかであるが、それ以外にそのような超曲面が存在するのかどうかを決定することが問題となった。この問題も正則性を利用することにより、完全な分類を得ることに成功した。
|
